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《實變函數(shù)-周其生-實變函數(shù)試卷一及答案.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、《實變函數(shù)》試卷一一、單項選擇題（3分×5=15分）1、1、下列各式正確的是（）（A）;（B）;（C）;（D）;2、設P為Cantor集，則下列各式不成立的是（）（A）c(B)(C)(D)3、下列說法不正確的是（）(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可測4、設是上的有限的可測函數(shù)列,則下面不成立的是()（A）若,則(B)是可測函數(shù)（C）是可測函數(shù);（D）若,則可測5、設f(x)是上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（）(A)在上有界(B)在上幾乎處處存在導數(shù)（C）在上L可積(D)得分二.填空題(3分×5
2、=15分)1、 _________2、設是上有理點全體，則=______,=______,=______.3、設是中點集，如果對任一點集都有_________________________________，則稱是可測的4、可測的________條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).（填“充分”，“必要”，“充要”）5、設為上的有限函數(shù)，如果對于的一切分劃，使_____________________________________________________,則稱為上的有界變差函數(shù)。得分三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明
3、.(5分×4=20分)1、設，若E是稠密集，則是無處稠密集。2、若，則一定是可數(shù)集.3、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)。4．設在可測集上可積分，若，則得分四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分）設，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值?？忌痤}不得超過此線2、（8分）求得分五、證明題（6分×4+10=34分）.1、（6分）證明上的全體無理數(shù)作成的集其勢為.2、（6分）設是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集?？忌痤}不得超過此線3、（6分）在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4、（6分）設在上可積，，則.5、（10分）設是上有限的函數(shù)，若
4、對任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理)試卷一（參考答案及評分標準）一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．2、；；3、4、充要5、成一有界數(shù)集。三、1．錯誤……………………………………………………2分例如：設是上有理點全體，則和都在中稠密………………………..5分2．錯誤…………………………………………………………2分例如：設是集，則，但c，故其為不可數(shù)集……………………….5分3．錯誤…………………………………………………………2分例如：設是上的不可測集，則是上的可測函數(shù)，但不是上的可測函數(shù)…………………………………………
5、……………………..5分4．錯誤…………………………………………………………2分…5分四、1．在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集………………………………………..3分因為是有界可測函數(shù)，在上是可積的…6分因為與相等，進一步，…8分2．解：設，則易知當時，…………………………..2分又因，()，所以當時，………………4分從而使得…………………………………6分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有…………………………………8分五、1．設…………………………2分……………………………….3分…………..5分………………………………………………6分2．
6、……….2分………………………………………….3分…………………………………………………………5分…………………………………………………….6分3.對，，使對任意互不相交的有限個當時，有………………2分將等分，使，對，有，所以在上是有界變差函數(shù)……………………………….5分所以從而，因此，是上的有界變差函數(shù)…………………………………………………………..6分4、在上可積……2分據(jù)積分的絕對連續(xù)性，，有………………………………………………….4分對上述，從而，即…………………6分5．存在閉集在連續(xù)………………………………………………………………2分令，則在連續(xù)………
7、…………………………………………………4分又對任意,…………………………………………….6分故在連續(xù)…………………………..8分又所以是上的可測函數(shù)，從而是上的可測函數(shù)………………………………………………………..10分
