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《高考數(shù)學難點突破_難點27__求空間的角》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、難點27求空間的角空間的角是空間圖形的一個要素，在異面直線所成的角、線面角、二面角等知識點上，較好地考查了學生的邏輯推理能力以及化歸的數(shù)學思想.●難點磁場(★★★★★)如圖，α—l—β為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點P在l上，M∈α,N∈β,且MP與β所成的角等于NP與α所成的角.(1)求證：MN分別與α、β所成角相等；(2)求MN與β所成角.●案例探究［例1］在棱長為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點.(1)求證：四邊形B′EDF是菱形；(2)求直
2、線A′C與DE所成的角；(3)求直線AD與平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF與面ABCD所成的角.命題意圖：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強，屬★★★★★級題目.知識依托：平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角.錯解分析：對于第(1)問，若僅由B′E=ED=DF=FB′就斷定B′EDF是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須證明B′、E、D、F四點共面.技巧與方法：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法.求二
3、面角的大小也可應用面積射影法.(1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下證B′、E、D、F四點共面，取AD中點G，連結(jié)A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四邊形.∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF為平行四邊形.∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四點共面故四邊形B′EDF是菱形.(2)解：如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP(或補角)為異面直線A′C與DE所成的角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a
4、,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C與DE所成角為arccos.(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.如下圖所示.又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a則cosADB′=故AD與平面B′EDF所成的角是arccos.(4)解：如圖，連結(jié)EF、B′D，交于O點，顯然O為B′D的中點，從而O為正方形ABCD—A′B′C′D的中心.作OH⊥平面
5、ABCD，則H為正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足為M，連結(jié)OM，則OM⊥DE，故∠OMH為二面角B′—DE′—A的平面角.在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜邊DE=a,則由面積關系得OM=a在Rt△OHM中，sinOMH=故面B′EDF與面ABCD所成的角為arcsin.［例2］如下圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1長為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120°.求：(1)AC1的長；(2)直線BD1與AC所成的角的余弦值.命題意圖
6、：本題主要考查利用向量法來解決立體幾何問題，屬★★★★★級題目.知識依托：向量的加、減及向量的數(shù)量積.錯解分析：注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90°.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.∴BD1與AC所成角的余弦值為.●錦囊妙計空間角的計算步驟：一作、二證、三算1.異面直線所成的角范圍：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②補形法.2.直線與平面所成的角范圍：0°≤θ≤90°方法：關鍵是作垂線，找射影.3.二面角方法：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法.注：二面角的計
7、算也可利用射影面積公式S′=Scosθ來計算●殲滅難點訓練一、選擇題1.(★★★★★)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是()A.B.C.D.2.(★★★★★)設△ABC和△DBC所在兩平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,則AD與平面BCD所成的角為()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空題3.(★★★★★)已知∠AOB=90°,過O點引∠AOB所在平面的斜線O
8、C，與OA、OB分別成45°、60°，則以OC為棱的二面角A—OC—B的余弦值等于_________.4.(★★★★)正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面積之比為2∶3,則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為_________.三、解答題5.(★★★★★)已知四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的長；(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大??；(3)求證：二面
