高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)28__求空間距離[1]

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1、難點(diǎn)28求空間距離空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.●難點(diǎn)磁場(★★★★)如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點(diǎn).求：(1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離.●案例探究［例1］把正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求：(1)EF的長；(2)折起后∠EOF的大小.命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來

2、解決立體幾何問題，屬★★★★級題目.知識依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公式.錯(cuò)解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系.其中必須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直.技巧與方法：建系方式有多種，其中以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡單.解：如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,設(shè)正方形ABCD邊長為a,則A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,a),E(0,－a,a),F(a,a,0)∴∠EOF=120°［例2］正方體ABCD—A1B1C1D1的

3、棱長為1，求異面直線A1C1與AB1間的距離.命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬★★★★級題目.知識依托：求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得.錯(cuò)解分析：本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為O1B是A1C與AB1的距離，這主要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離.技巧與方法：求異面直線的距離，有時(shí)較難作出它們的公垂線，故通常采用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如圖，連結(jié)AC1，在正方體

4、AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1與平面AB1C間的距離等于異面直線A1C1與AB1間的距離.連結(jié)B1D1、BD，設(shè)B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，連結(jié)B1O，則平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O作O1G⊥B1O于G，則O1G⊥平面AB1C∴O1G為直線A1C1與平面AB1C間的距離，即為異面直線A1C1與AB1間的距離.在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB

5、1==∴O1G=，即異面直線A1C1與AB1間距離為.解法二：如圖，在A1C上任取一點(diǎn)M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，連結(jié)RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，設(shè)A1R=x,則RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最小值即異面直線A1C1與AB1距離為.●錦囊妙記空間中的距離主要指以下七種：(1)兩點(diǎn)之間的距離.(2)點(diǎn)到直線的距離.(3)點(diǎn)到平面的距離

6、.(4)兩條平行線間的距離.(5)兩條異面直線間的距離.(6)平面的平行直線與平面之間的距離.(7)兩個(gè)平行平面之間的距離.七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離.在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn).求點(diǎn)到平面的距離：(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距

7、離.(3)體積法.求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.(★★★★★)正方形ABCD邊長為2，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角(如圖)，M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為()2.(★★★★)三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，

8、∠ABC=90°,設(shè)平面A1BC1與平面ABC的交線為l，則A1C1與l的距離為()A.B.C.2.6D.2.4二、填空題3.(★★★★)如左下圖，空間四點(diǎn)A、B、C、D中，每兩點(diǎn)所連線段的長都等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為_________.4.(★★★★)如右上圖，ABCD與ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度數(shù)為30°，那么EF與平面ABCD的距離為_________.三、解答題5.(★★★★★)在長