由“貝特朗(Bertrand)奇論”引發(fā)的思考與認(rèn)識(shí)

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1、由“貝特朗(Bertrand)奇論”引發(fā)的思考與認(rèn)識(shí)附：摘要：我在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)必修3(人民教育出版社A版)第三章概率的教學(xué)時(shí)，再閱讀了大學(xué)教材《概率論基礎(chǔ)》(高等教育出版社.1997年第二版)第一章第4節(jié)幾何概率，讀到“貝特朗奇論”時(shí)，聯(lián)系到自己在一些流行的參考資料中所遇到的一些問(wèn)題，引發(fā)了一些思考，談了一些自己的認(rèn)識(shí)，提出了對(duì)《概率論基礎(chǔ)》中“貝特朗奇論”解法二和解法三的看法，又給了“貝特朗奇論”兩種解法，對(duì)用等可能性來(lái)定義概率，說(shuō)了一些自己的思考和認(rèn)識(shí)，欲與同行共同研討.IntheteachingofChapterThreeProbabilityinthethirdco

2、mpulsorymathematicstextbook(People'sEducationPress:EditionA)ofseniorhighschool,IhavereadthecollegetextbookAFirstCourseinProbability(HigherEducationPress:thesecondedition,1997).Inthesection4ofchapterone,theideaofBertrand’sparadoxismentioned.Associatingitwithsomerelatedproblemsinsomereferenc

3、ebooks,IcameupwithsomenewideasandthoughtontheSolutionTwoandThreeofBertrand’sparadoxinthebookAFirstCourseinProbability.MorethoughtandmyownideasaboutthetwosolutionsofBertrand’sparadoxarementionedinthefollowingarticleandarehopedtobediscussedwithcolleagues.關(guān)鍵詞：貝特朗奇論均勻分布等可能確定一一對(duì)應(yīng)等價(jià)轉(zhuǎn)化作者簡(jiǎn)歷：張智方，男，

4、漢蔟，云南昆明人，出生于1959年，大學(xué)本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，曾在各級(jí)報(bào)刊雜志上發(fā)表論文26篇，2000年評(píng)為中學(xué)特級(jí)教師，曾因所教學(xué)生參加全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽成績(jī)突出評(píng)為昆明市數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員，主要研究方向：課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，課例研究，初等數(shù)學(xué)解題研究，教材教法研究。聯(lián)系方式：作者姓名：張智方通訊地址：云南省昆明第八中學(xué)(龍泉路)，郵編：650222，電話：18064871206，電子郵箱：zimou6@126.com,QQ：2431908728張智方附上2012年11月11日星期日投稿編號(hào)：2103937555由“貝特朗(Bertrand)奇論”引發(fā)的思考

5、與認(rèn)識(shí)張智方(云南省昆明第八中學(xué)650222)我在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)必修3(人民教育出版社A版)第三章概率的教學(xué)時(shí)，再閱讀了大學(xué)教材《概率論基礎(chǔ)》(高等教育出版社.1997年第二版)第一章第4節(jié)幾何概率時(shí)，由“貝特朗奇論”引發(fā)了一些思考，在此提出與同行共同研討.貝特朗奇論：在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，問(wèn)其長(zhǎng)超過(guò)該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率等于多少？(c)(b)(a)[解法一]任何弦交圓周兩點(diǎn)，不失一般性，先固定一點(diǎn)在圓周上，以此點(diǎn)為一頂點(diǎn)作一等邊三角形，顯然只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的另一端跑過(guò)的弧長(zhǎng)為整個(gè)圓的，故所求概率等于(見(jiàn)圖(a)).[解法二]弦長(zhǎng)只跟

6、它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無(wú)關(guān)，因此可以假定它垂直于某一直徑，當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于時(shí)，其長(zhǎng)才大于，因此所求概率為(見(jiàn)圖b).[解法三]弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑為的同心圓內(nèi)時(shí)，弦長(zhǎng)大于，此小圓面積為大圓面積的，故所求概率為(見(jiàn)圖(c)).該教材指出：同一問(wèn)題有三種不同的答案，細(xì)究其原因，發(fā)現(xiàn)是在取弦時(shí)，采用不同的等可能性假定.在第一種解法中，假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，在第二種解法中則假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，而在第三種解法中又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布.這三種答案是針對(duì)三種不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)而言，它們都是正確的.對(duì)此我有下面三點(diǎn)思

7、考和認(rèn)識(shí)：①對(duì)于解法二，“弦長(zhǎng)只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無(wú)關(guān)，因此可以假定它垂直于某一直徑”，這沒(méi)錯(cuò)，但是求解概率問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能用求解一般函數(shù)問(wèn)題一樣的轉(zhuǎn)化嗎？轉(zhuǎn)化后還和原題等價(jià)嗎？能用弦心距在區(qū)間內(nèi)取值的概率來(lái)求弦長(zhǎng)在區(qū)間內(nèi)取值的概率嗎？如果能，那么由弦長(zhǎng)和弦心距、半徑1的關(guān)系得()，得，弦由弦心距確定，同時(shí)弦心距也由弦確定，是不是也可以得出另一解法，概率為？能說(shuō)這種解法也對(duì)嗎？若說(shuō)不對(duì)，又怎樣否定它呢？!是不是有這樣的問(wèn)題，雖然弦心距在所給區(qū)間內(nèi)上均勻分布的，弦是由和弦心距確定的，在給定區(qū)間上它們有一一對(duì)應(yīng)