02-10函數(shù)的最值問題

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1、02-10函數(shù)的最值問題點一點—明確目標掌握求函數(shù)最值的常見方法，并在過程屮體會化歸思想方法.做一做—熱身適應(yīng)1.（2004年春季安徽）函數(shù)y=4x—X（x20）的最大值為.答案：；42.設(shè)x>0,尹>0且3x+2尸12,則xy的最大值是.解析：Vx>0,y>0,???3x?2yW（篤即）2=62^xj<6（當(dāng)H.僅當(dāng)3x=2y時等號成立）.答案：63.函數(shù)y=x-\+x~3的最小值是.解析:在數(shù)軸上，設(shè)l、3、x對應(yīng)的點分別是A.B.P,:.y=x-\+x-3=PA+PB^AB=2.答案:2D.lD.64（2003年春季北京）函數(shù)"）=匸

2、右的最大值是A.—B?—C?—5441aa解析：Tl—x(1-x)=l-x+x2=(x--)2+-^-,244I44.??/(X)=—，f(X)max=—■1-x(-X)33答案:D5.若x2+y2=l,則3x~4y的最大值為A.3B.4C.5解析：?.?/+尹2=],/.叫設(shè)x=cosa,尸sina./.3x—4y=3cosa—4sin^=5sin(a+卩)W5.答案：C6.[2006年上海理，12]三個同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式x2+25+

3、x3-5x2Rax在[1,12]上恒成立，求實數(shù)Q的取值范用”提出各白的解題思路.甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊

4、的最人值”?乙說：“把不等式變形為左邊含變量兀的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.丙說：“把不等式兩邊看成x的函數(shù)，作出函數(shù)的圖像”.參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即Q的取值范圍是?答案：a0,從而確定函數(shù)的最值，

5、檢驗這個最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的x值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等號的條件確定函數(shù)的最值.（4）換元法：通過變最代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.（5）數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖彖或幾何方法求出函數(shù)的最值.（6）函數(shù)的單調(diào)性法.注意：利用判別式法及不等式法求敲值時，都需檢驗等號能否取到.另外，利用判別式法解決問題吋，一定?？紤]二次項系數(shù)可否為零.當(dāng)二次項系數(shù)為零吋，不能用判別式法解決問題.撥一撥思路方法【例1】（2004年上海，18）某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x、p（單位：m）的矩形

6、，上部是等腰氏角三角形，要求框架圍成的總面積為8n?,問x、p分別為多少時用料最省？（精確到0.001m）

7、V解:由題意得兀?尸「?產(chǎn)???尸十三虧（0GV4。）.厶=2x+2y+2(晝)2于是，框架用料長度為-+V2)^2J16(-+V2)=4^6+472.2xV2當(dāng)且僅當(dāng)（丄+厲）嚴0,即,4=8-4a/2時，籌號成立.2'、口此時,x~2.343,y=2近=2228.故當(dāng)兀為2.343m,y為2.828m時,用料最省.【例2】設(shè)/(,)一/+41(20

8、143I43—22解：當(dāng)0W/V20時，S=(―/+11)?(——M-——)=——(什22)(/—43).V=10.5,23362又址N,???/=10或11時,5inax=176.1431當(dāng)20W/W40時，S=(-r+41)(--/+—)=-(r-41)(7—43).???戶20時，Smax=161.333綜上所述，S的最人值是176.【例3】已知兩數(shù)/(兀)的定義域為R,且對一切xeR,都有/(x+2)=/(2-x),f(x+7)于(7—x).(1)若/(5)=9,求/(一5)的值；(2)己知xW[2,7]時，f(x)=(%—2)2,求當(dāng)xW[16,20]時,函

9、數(shù)g(x)=2x—f(x)的表達式，并求出g(X)的最大值和最小值?解:(1)由/(兀+2)于(2—x),/(x+7)于(7—兀)可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)/(“)的圖象關(guān)于直線x=2,x=7對稱,且f(x)于[&—2)+2]=f{_2—(%—2)]=f(4—x)于[7—(3+x)]=/[7+(3+x)]于(10+x).???/(x)是以10為周期的周期函數(shù).???/(—5)=<(-5+10)=/(5)=9.(2)根據(jù)周期性、圖彖的對稱性，結(jié)合圖象可得到/&)=J(X"12)"型(—22)2xe(17,20].xe[16,17],xg(17,20].?xW[16,