數(shù)列常見(jiàn)數(shù)列公式(很全)---有了它,數(shù)列不怕不怕

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1、常見(jiàn)數(shù)列公式等差數(shù)列1．等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d，（n≥2，n∈N），這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：或=pn+q(p、q是常數(shù)))3．有幾種方法可以計(jì)算公差d①d=－②d=③d=4．等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列5．等差數(shù)列的性質(zhì)：m+n=p+q(m,n,p,q∈N)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式（1）（2）（3），當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式8.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:（1

2、）利用：當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值（2）利用：由二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值等比數(shù)列1．等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:，3．｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0）“≠0”是數(shù)列｛｝成等比數(shù)列的必要非充分條件4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列．5．等比中項(xiàng)：G為a與

3、b的等比中項(xiàng).即G=±（a,b同號(hào)）.6．性質(zhì)：若m+n=p+q，7．判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法158．等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1,>0或01,<0,或00時(shí),{}是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí),{}是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí),{}是擺動(dòng)數(shù)列;等比數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：∴當(dāng)時(shí)，①或②　　當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)已知,q,n時(shí)用公式①；當(dāng)已知,q,時(shí)，用公式②.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型

4、的題目．例1．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為∵成等比數(shù)列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。二、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時(shí)，有……，15經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并．三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的

5、求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全國(guó)卷I.22)已知數(shù)列中,,其中……，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。P24（styyj）例3.已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，類型2（1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全國(guó)卷I.15)已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(

6、n≥2)，則{an}的通項(xiàng)P24（styyj）15例4.已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，（2）．由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由已知遞推式有，，，依次向前代入，得，簡(jiǎn)記為，這就是疊（迭）代法的基本模式。（1）遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)的差異．例5．設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說(shuō)明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.例6．已知，，求。15解：。類型3遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞

7、推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。(2006.重慶.14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)P24（styyj）例7.已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.類型4遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）（2006全國(guó)I.22）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；P25（styyj）解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類

8、型3的方法解決。例8.已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以類型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為15其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的