羅爾定理論文

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1、淺談羅爾定理及拉格朗日定理推廣及應(yīng)用摘要：微分中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ).本文在羅爾定理及拉格朗日定理原有描述的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行了推廣，使其定理的適用范圍更加廣泛；同時(shí)，對(duì)羅爾定理在討論方程根的存在性問(wèn)題中的應(yīng)用及拉格朗日定理在證明不等式和求極限問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行了討論，證實(shí)所得推廣定理的有效性及實(shí)用性.關(guān)鍵詞：羅爾定理；拉格朗日屮值定理；極限；導(dǎo)數(shù)一、羅爾定理推廣及應(yīng)用(一)羅爾定理推廣1.羅爾定理描述若函數(shù)/(兀)滿足下列條件：在閉區(qū)間S問(wèn)連續(xù)；在開區(qū)間仏b)可導(dǎo)；f(b)=；則在仏b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

2、歹，使f?=o?2.羅爾定理的推廣2.1羅爾定理推廣1設(shè)仏耳為有限或無(wú)限區(qū)間，幾兀)在仏b)內(nèi)可微，且lim/(x)=limf(x)=A(AnJ'為有限也口J為)，則至少存在一點(diǎn)gw(d,b),x—>xt使廣⑷=0?證明：(1)設(shè)(a,b)為有限區(qū)間?若A是有限值，令c/(q+0),x=a,F(x)=

3、0充分大時(shí)，直線y=c與曲線y=/(尢)至少有兩個(gè)焦點(diǎn)(尢],/(尢]))與(兀2，/(勺))'即/(X1)=/(%2)=C且兀1?兀2w(d,b)不妨設(shè)XKX2對(duì)/(%)在[x,xi]u(a,b)上應(yīng)用羅爾定理，使得廣(§)=0；(3)若A為有限值，⑺力)為無(wú)限區(qū)間.做變量替換，即選擇函數(shù)x=x(t)9滿足如下要求：蟲仏,0),(這里(％0)是有限區(qū)間)，雄仏方)，#(/)存在且不變號(hào)?然后對(duì)符合函數(shù)/(x(r))在(&,0)應(yīng)用仃)的結(jié)果.1)當(dāng)q=-00,/?=+oo,即(a,b)=(-oo,+o

4、o).做變換x=tanr,令g(f)=/(tanr),則g(/)在(-彳,勻上滿足⑴式的全部條件?故環(huán)卜靂>使gyro,而g'(「)=/'(tanr).sec2r,sec2r>0,于是取=tanre(-oo,4-oo),就是廣(§)=0；2)若當(dāng)d有限,=+00,即仏方)=(Q,+8),作變換兀(/)=__,a

5、a,b)=(-oo,b),做變換兀(/)=羋嚴(yán)，s

6、丐w（d,b），使得冊(cè)沖g叫）e2.3羅爾定理推廣3設(shè)f（x）,g（x）,/?（兀）在［a,b］±連續(xù)，在仏b）內(nèi)可導(dǎo)，則使得/(a)g⑷h(a)/(b)g(b)h(b)=0.廣⑷g'C)〃⑷證明：設(shè)由行列式性質(zhì)知F@)=F(b)=O,則由于滿足羅爾定理,則北W(d0),使得廣￡)=0,則問(wèn)題得證.f(a)F(x)=訕g(a)/i(a)g(b)h(b)g(x)h(x)(-)羅爾定理的應(yīng)用1?在討論方程根的存在性問(wèn)題時(shí)，可以應(yīng)用羅爾定理.羅爾定理的條件很寬松，給一個(gè)定義在閉區(qū)間［d,b］上的函數(shù)，只需函數(shù)在

7、這個(gè)區(qū)間連續(xù)，可導(dǎo)(并不要求區(qū)間端點(diǎn)可導(dǎo))，在要求/⑴滿足條件f(a)=f(b).因此,可以應(yīng)用羅爾中值定理解決一些復(fù)雜的代數(shù)方程的判根問(wèn)題?其步驟一般是：分析命題條件T構(gòu)造輔助函數(shù)/(兀)T驗(yàn)證/(兀)滿足羅爾定理的條件T應(yīng)用羅爾定理T命題結(jié)論.例1：若于(兀)在［d問(wèn)上連續(xù),在仏b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0)，證明:在仏“)內(nèi)，方程2x{/(&)-/(a)}=(/?2-a2)/'(x)至少存在一個(gè)根.證明：令F(x)=［f(b)-f(a)}x2-(b2-a2)f(x)9顯然,F(兀)在閏上連續(xù)，在(a,5)內(nèi)可

8、導(dǎo),而且F(a)=f(b)a2-b2f(a)=F(b)f根據(jù)羅爾定理，至少存在一個(gè)使得F(§)=(),則右2^{f(b)-f(a)}=(b2-a2)fr(4)>故在仏b)內(nèi),方程2x(f(b)-f(a)}=(b2-a2)ff(x).至少存在一個(gè)根.2.羅爾定理的推廣也冇廣泛的應(yīng)用.在證明不等式時(shí)，首先我們可以根據(jù)不等式倆邊的代數(shù)式選取不同的F(x)；其次，驗(yàn)證尸(兀)是否滿足羅爾定理推廣中的某種形式的條件；最后，應(yīng)用定理進(jìn)行解