幾個(gè)案例

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1、《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)發(fā)展史中的作用,逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀(guān)”；新近頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》更是將數(shù)學(xué)史內(nèi)容設(shè)置為學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)的一個(gè)板塊,從而將數(shù)學(xué)史從幕后推向了前臺(tái)。1、應(yīng)用數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)設(shè)計(jì)概念課的教學(xué)數(shù)學(xué)史的引入不必完全遵循發(fā)明者的歷史足跡,進(jìn)行簡(jiǎn)單的移植和嫁接,而是要挖掘相關(guān)歷史文獻(xiàn),創(chuàng)造性地制作適用于教學(xué)、自然、可信的“歷史外套”，使學(xué)生在經(jīng)歷概念的歷史演進(jìn)的過(guò)程中,明了概念的效用與需要,從而獲得牢固的印象和透徹的認(rèn)識(shí)。例如,從無(wú)理數(shù)概念的兩種不同引入方式的對(duì)比中,我們可

2、以清晰地發(fā)現(xiàn)融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)有正本清源的作用。案例1　無(wú)理數(shù)的引入方案一：教師請(qǐng)學(xué)生代表上講臺(tái)用擲正方體骰子的方式得到一系列1～6之間的整數(shù),然后請(qǐng)另一位同學(xué)將這些數(shù)記錄下來(lái)并寫(xiě)在“0.”的后面,讓學(xué)生觀(guān)察所得小數(shù)的特點(diǎn),從而得到一系列無(wú)限不循環(huán)小數(shù),引入無(wú)理數(shù)的概念。方案二(課堂教學(xué)實(shí)錄)教師:先講一個(gè)發(fā)生在數(shù)學(xué)史上的慘案。古希臘有一個(gè)著名的學(xué)派叫做畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,這個(gè)學(xué)派有一個(gè)信條:“萬(wàn)物皆數(shù)”,即“宇宙間的一切現(xiàn)象都可以歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”。同學(xué)們,這是兩千五百多年前人們對(duì)于數(shù)學(xué)的最高等的認(rèn)識(shí),以你現(xiàn)在的知識(shí),你能看出來(lái)他們

3、當(dāng)時(shí)都已經(jīng)知道了些什么數(shù)?生1:整數(shù)和分?jǐn)?shù)。教師:好。那么大家同意他們的看法嗎?學(xué)生2:不同意,他們當(dāng)時(shí)可能還不知道負(fù)數(shù)呢。教師:你很有想象力。但事實(shí)上他們當(dāng)時(shí)已經(jīng)知道了負(fù)數(shù)的意義,比如,一只羊平均分成兩份,一個(gè)人拿走了其中的一份,他們就用虧空了一半來(lái)表示少了的那部分,其實(shí)就是-1/2。也就是說(shuō)他們當(dāng)時(shí)已經(jīng)認(rèn)識(shí)到有理數(shù)了。看來(lái)同學(xué)們?cè)缫颜莆樟四菚r(shí)候的最高學(xué)問(wèn)。(學(xué)生笑了起來(lái),似乎有些自豪。)不妨讓我們?cè)僖黄饋?lái)具體地研究一下他們所提出來(lái)的所謂“整數(shù)之比”。請(qǐng)同桌的同學(xué)任意寫(xiě)一個(gè)數(shù),另一位同學(xué)將它表示成小數(shù),……,你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象嗎?學(xué)

4、生3:有的是有限小數(shù),有的是無(wú)限循環(huán)小數(shù)。教師:原來(lái)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所指的數(shù)其實(shí)就是有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)。他們還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么數(shù)?學(xué)生4:(打趣似地插嘴)肯定是“無(wú)理數(shù)”了!教師:(很驚訝)為什么?學(xué)生4:有“有理”數(shù),就必然有“無(wú)理”數(shù)。既然只知道有理數(shù),肯定還不知道無(wú)理數(shù)嘍。教師:你的類(lèi)比推理思想掌握得真好!學(xué)生5:有一個(gè)數(shù)他們沒(méi)有想到,就是π。它是無(wú)限不循環(huán)的,也不能用兩個(gè)整數(shù)之比來(lái)表示。教師:好。π是無(wú)限不循環(huán)的,不能用整數(shù)之比來(lái)表示,顯然畢達(dá)哥拉斯學(xué)派那時(shí)候沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn),其實(shí)人類(lèi)最早研究π是在兩千三百多年前?？磥?lái)這個(gè)學(xué)派

5、的學(xué)說(shuō)是有漏洞的。就像剛才大家找到的π一樣,當(dāng)時(shí)有一位該學(xué)派的成員希伯索斯也發(fā)現(xiàn)“邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示”……這一發(fā)現(xiàn)動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條,引起了信徒們的恐慌,成為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。據(jù)說(shuō)希伯索斯為此被投進(jìn)了大海,他為發(fā)現(xiàn)真理而獻(xiàn)出了生命。但真理是不可戰(zhàn)勝的,希伯索斯的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)被我們所正視,進(jìn)而促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展……我們將類(lèi)似于和希伯索斯發(fā)現(xiàn)的這個(gè)數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)……對(duì)比認(rèn)識(shí):(1)方案一大約用時(shí)四分鐘,方案二用時(shí)五分鐘左右。(2)方案一表面上是用探究的方式得到一系列無(wú)理數(shù),但自始至終學(xué)生都不知道為什

6、么會(huì)有無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生,它的產(chǎn)生有什么意義；方案二使學(xué)生經(jīng)歷了一次無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的過(guò)程,對(duì)無(wú)理數(shù)概念的本質(zhì)(什么是無(wú)理數(shù),它與有理數(shù)的區(qū)別,把它叫做無(wú)理數(shù)的歷史原因)也有更直觀(guān)而親切的認(rèn)識(shí),同時(shí)學(xué)生也積極參與。在希伯索斯之前就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)無(wú)理數(shù),這無(wú)形中也增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。(3)由于（2）中的原因,方案一會(huì)使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)的具體分類(lèi)不甚了然,常會(huì)產(chǎn)生誤解,比如“是不是無(wú)理數(shù),是不是分?jǐn)?shù)”,學(xué)生就不易分清楚；方案二是以自然、可信的歷史為生長(zhǎng)點(diǎn)的,即使學(xué)生遺忘了相關(guān)的結(jié)論,通過(guò)簡(jiǎn)單的推演是很容易再生的,這正是日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏所謂的“真正積淀

7、下來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)”。（4）方案二的設(shè)計(jì)還原了概念的原貌,鮮活的歷史應(yīng)該會(huì)使應(yīng)試教育下學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的偏見(jiàn)有所改變。2　以歷史名題啟迪現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)模型歷史名題中蘊(yùn)含了豐富的思想方法,對(duì)歷史名題的挖掘可以使學(xué)生重演古人對(duì)這些內(nèi)容的探索過(guò)程,進(jìn)而嘗試用古人的方法解決一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。案例2　垂徑定理的教學(xué)引例　“圓壁埋材”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?”這一歷史名題不僅可以使學(xué)生了解垂徑定理中四條重要線(xiàn)段的聯(lián)系,也使學(xué)生對(duì)“垂徑定理”這一名稱(chēng)有直觀(guān)的認(rèn)識(shí),可以作為

8、一個(gè)原始模型演繹出下面的問(wèn)題。問(wèn)題1　(趙州橋的橋拱)1390多年前,我國(guó)隋代建造的趙州橋的橋拱是圓弧形的,它的跨度為37.4米,拱高7.2米,橋弧的半徑為多少呢?進(jìn)一步演繹出更具有現(xiàn)實(shí)意義和一般性的問(wèn)題。問(wèn)題2　(薩摩斯島的瓷盤(pán)碎片