示范教案（平面向量共線的坐標(biāo)表示）

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1、2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析1.前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是平面向量的代數(shù)表示.在引入了平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái),這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.2.本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律,推導(dǎo)兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律.3.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),一個(gè)自然的想法是向量的某些關(guān)系,特別是向量的平行、垂直,是否也能通過坐

2、標(biāo)來(lái)研究呢?前面已經(jīng)找出兩個(gè)向量共線的條件(如果存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,那么a與b共線),本節(jié)則進(jìn)一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示.這種轉(zhuǎn)化是比較容易的,只要將向量用坐標(biāo)表示出來(lái),再運(yùn)用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的坐標(biāo)表示.要注意的是,向量的共線與向量的平行是一致的.三維目標(biāo)1.通過經(jīng)歷探究活動(dòng),使學(xué)生掌握平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示方法.理解并掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線的坐標(biāo)表示.2.引入平面向量的坐標(biāo)可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,平面向量的坐標(biāo)成了數(shù)與形結(jié)合的載體.3.在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣,

3、以加深理解知識(shí)要點(diǎn),增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí),直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為零)何時(shí)所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)？思路2.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a,過定點(diǎn)O作向量=a,則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)A的位置可

4、通過其坐標(biāo)來(lái)反映,從而向量a也可以用坐標(biāo)來(lái)表示,這樣我就可以通過坐標(biāo)來(lái)研究向量問題了.事實(shí)上,向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái),這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來(lái)研究呢？推進(jìn)新課新知探究提出問題①我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa8/8的坐標(biāo)表示嗎?②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎

5、樣表示的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的P點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論?活動(dòng):教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得:圖1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教師和學(xué)生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為:兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向

6、量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量平移,使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過平移也可以發(fā)現(xiàn):向量的模與向量的模是相等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式:

7、

8、=

9、

10、=.教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng),并鼓勵(lì)學(xué)生,只要善于開動(dòng)腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果:①能.②=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結(jié)論:一

11、個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).提出問題①如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量?②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共線的什么條件?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系.此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.如果用坐標(biāo)表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2),即消去λ后得x1y2-x2y1=0.8/8這就是說,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)向量a、b(b≠0)共線.又我們知

12、道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價(jià)的,但這與是不等