第十四講枚舉法及其運用

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1、第十四講枚舉法及其運用學(xué)法探討我們在平常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，遇到的數(shù)學(xué)問題，一般都可以列出算式，然后求出結(jié)果。但在數(shù)學(xué)競賽或I」常生活屮卻經(jīng)常會遇到一些有趣的問題，由于找不到計算的算式，似乎無從下手。但是，如果問題所述的情況或滿足問題要求的結(jié)果能夠被一一列舉出來，或者能夠被分類列舉出來，那么我們就應(yīng)該運用枚舉法來解決這類問題。一般地，根據(jù)問題耍求，將符合已知信息的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏地一一列舉出來；或者把問題分為有限種情況，然后將各種情況中符合已知信息的的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏地一一列舉出來，以達(dá)到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法

2、，稱Z為枚舉法，我們也可以通俗地稱“枚舉法”為舉例子。枚舉法是一種常見的數(shù)學(xué)方法。如果遇到要枚舉的情況太多，容易導(dǎo)致重復(fù)或遺漏掉一些情況時，我們要注意合理分類、有序思考。枚舉法是加法原理和乘法原理的基礎(chǔ)。關(guān)于“枚舉法及其運用”你還有什么需要補充？請你寫在下面：例題選講【例1】A、B、C、D四個同學(xué)進(jìn)行乒乓球單打比賽，每兩人Z間都要賽一場，四個人一共要比賽多少場？【分析】因為參加比賽的人不多，我們可以將每場比賽一一列舉出來，如圖14-1所示；我們也可以用四個點代表四位同學(xué)，如果某兩個同學(xué)之間進(jìn)行了一場比賽，我們就在代表這兩個同學(xué)的兩點之

3、間連一條線段，最后計算有多少條線段，就表示進(jìn)行了多少場比賽，如圖14-2所示。DC由圖易知，四個人一共要比賽6場。你能將6場比賽都列出來嗎?【解答】【體會】在解決這個問題的過程中，你冇什么體會？冇什么需要補充？請你寫在下面:【練習(xí)14一1】A、B、C、D、E五個同學(xué)進(jìn)行乒乓球單打比賽，每兩人Z間都要賽-場,五個人一共耍比賽多少場？【例2】小明和小紅玩擲骰子的游戲，共冇兩枚骰了，一起擲出。若兩枚骰了的點數(shù)和為7,則小明勝；若兩枚骰子的點數(shù)和為8,則小紅勝。試判斷他們兩人誰獲勝的可能性大?！痉治觥繉擅恩蛔拥狞c數(shù)和分別為7與8的各種情況都

4、列舉出來，就可得到問題的結(jié)論。用a表示第一枚骰子的點數(shù)；用b表示第二枚般子的點數(shù)。a+b=7的情況共有6種，它們是：1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1。a+b=8的情況共有5種，它們是：2+6,3+5,4+4,5+3,6+2。所以，小明茯勝的可能性大。也有人這樣認(rèn)為，因為出現(xiàn)7的情況有：1+6,2+5,3+4三種，出現(xiàn)8的情況有：2+6,3+5,4+4三種，所以兩人獲勝的可能性一樣大.你認(rèn)為呢？【解答】【體會】在解決這個問題的過程屮，你有什么體會？有什么需要補充？請你寫在下面:【練習(xí)14-2］現(xiàn)有10塊糖，如果要求每天至少

5、吃3塊，吃完為止，那么一共有多少種不同的吃法？』角角)081111一二三【例3】現(xiàn)有血值為5角、8角的郵票各兩枚。用這些郵栗能付多少種不同的郵資?【分析】我們可根據(jù)使用郵票的數(shù)量，分成四類（一枚、二枚、三枚、四枚）進(jìn)行枚舉：、16角；■四枚：26角。一共可以付多少種不同的郵資就一目了然了。【解答】【體會】在解決這個問題的過程中，你有什么體會？有什么需要補充？請你寫在下而:【練習(xí)14-3］現(xiàn)有三張數(shù)字卡片k2、3,用這些卡片町以組成多少個不同的數(shù)？分別是哪些個數(shù)？【例4】請你數(shù)-數(shù)，右圖中一共有多少個三角形。【分析】圖中的三角形形狀、大

6、小都不相同，位置也很凌亂，不好數(shù)清楚。為了避免數(shù)數(shù)過程中的遺漏或重復(fù)，我們將圖形的各部分編上號（見下圖），然后按照圖形的組成規(guī)律，把三角形分成單個的、由兩部分組成的、地枚舉出來。單個的三角形有6個：1,2,3,5,6,8。由兩部分組成的三角形有4個：（1,2）、（2,5）、（4,5）、（6,7）。由三部分組成的三角形有1個：（6,7,8）。由四部分組成的三角形有2個：（1,3,4,6）、（2,5,7,8）。由八部分組成的三角形有1個：（1,2,3,4,5,6,7,8）。那么，圖中一共有多少個三角形呢？由3部分組成的、再一類一類【解答】

7、【體會】對于這類圖形的計數(shù)問題，按由一部分組成、由兩部分組成、由三部分組成進(jìn)行分類型計數(shù)是最常用的方法。在解決這個問題的過程中，你還冇什么體會？還冇什么需要補充？請你寫在下面:【練習(xí)14-4］請你數(shù)一數(shù)，下圖中一共冇多少三角形?【例5】卬、乙兩人比賽乒乓球，先勝三局的人算贏，直到?jīng)Q出勝負(fù)為止。請問一共冇多少種可能發(fā)生的情況？【分析】如果遇到要枚舉的情況太多，容易導(dǎo)致重復(fù)或遺漏掉一些情況時，我們除了要合理分類、有序思考以外，最好引用一種工具一一樹枝圖。先考慮甲勝第一局的情況，列樹枝圖如下：容易看出，甲勝第一局的情況一共有10種情況。同理

8、，乙勝第一局也有10種情況，合計一共有20種情況?！窘獯稹俊倔w會】在解決這個問題的過程小，你有什么體會？有什么需要補充？請你寫在下面:【練習(xí)14-5］甲、乙兩人比賽乒乓球，釆取五局三勝制。已知甲勝了第一盤，并最終獲勝。請