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《數(shù)學(xué)-小波分析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、博士生數(shù)學(xué)系列講座Z二（丄講人：冉啟文副教授）15專(zhuān)業(yè)原桂彬小波理論是科學(xué)家、工程師和數(shù)學(xué)家共同創(chuàng)造的，反映了大科學(xué)時(shí)代學(xué)科Z間的綜合、滲透的趨勢(shì)。小波理論來(lái)
2、1JFourier分析，思想也來(lái)源于Fourier分析，但它不能代替Fourier分析，它是Fourier分析的新發(fā)展，小波理論與Fourier分析的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)和相輔相成的良好效果已被科研實(shí)踐所證實(shí)。一、小波與時(shí)頻分析、信號(hào)處理信號(hào)處理的主要口的是提取信號(hào)的有用信息，而去除無(wú)用的信息。信號(hào)分析的主要目的也就是尋找一種簡(jiǎn)單有效的信號(hào)變換方法，以便突出信號(hào)中的重要特性，簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜度。例如，離
3、散吋間序列的付立葉變換DFT用簡(jiǎn)化的算法FFT的例了。Fourier變換就是一種刻畫(huà)函數(shù)空間，解微分方程，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的主要方法和有效的數(shù)學(xué)工具。它可把許多常見(jiàn)的微分、積分和卷積運(yùn)算化簡(jiǎn)為代數(shù)運(yùn)算，應(yīng)用計(jì)算機(jī)、DSP的工具進(jìn)行處理。從物理意義上理解，一個(gè)周期振動(dòng)信號(hào)可以看成是具有簡(jiǎn)單頻率的間諧振動(dòng)的疊加，也正I大I為Fourier變換具有明顯的物理意義，即幅頻、相頻特性被限制了，使Fourier變換不能進(jìn)一步深入分析信號(hào)，在這一方面，小波要比Fourier變換勝出一籌。Gabor變換是一種加窗的Fourier變換，它在菲平穩(wěn)信號(hào)分析屮能起到很好的
4、作用，是一?種有效的信號(hào)處理方法，但Gabor變換的時(shí)一頻窗口是固定不變的,窗口沒(méi)有自適應(yīng)性，不適用于分析多尺度信號(hào)和突變過(guò)程，而口其離散形式?jīng)]用正交展開(kāi)，難于實(shí)現(xiàn)高效的算法，這也是Gabor變換的主耍缺陷，因此在工程上也限制了Gabor變換的應(yīng)用。在信號(hào)分析與處理屮，為了提高算法的效率，對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換處理的積分應(yīng)該展于止交基，F(xiàn)ourier變換的空間基具有正交性，但由于明確的物理意義而受到限制，小波則可以取而間得之。二、小波與圖像分析模擬圖像信號(hào)在傳輸過(guò)程中極易受到各種噪聲的干擾，而且模擬圖像信號(hào)一旦受到干擾則很難完全得到恢復(fù)。另外，在模擬領(lǐng)域
5、中，要進(jìn)行人與機(jī)器、機(jī)器與機(jī)器之間的信息交換以及圖像進(jìn)行諸如壓縮、增強(qiáng)、恢復(fù)、特征提取和識(shí)別等一系列的處理和比較是困難的。所以，無(wú)論從完成圖形通訊和數(shù)據(jù)通信網(wǎng)的結(jié)合方面來(lái)看，還是從對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行各種處理的角度來(lái)看，圖像信號(hào)的數(shù)字化都是首要解決的問(wèn)題。圖像信號(hào)的數(shù)字化的關(guān)鍵是圖像的編碼。編碼是把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)的一種的技術(shù)，圖像編碼技術(shù)不僅是應(yīng)用線性脈沖編碼調(diào)制技術(shù)，而重要的是利用圖像信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性及視覺(jué)對(duì)圖像的生理學(xué)和心理學(xué)特性對(duì)圖像進(jìn)行信源編碼。小波圖像編碼是新的圖象編碼方法，它的理論基礎(chǔ)是小波變換。近年來(lái)的研究表明，小波變換作為i種廣泛
6、適用的工具，也可以應(yīng)用于分形幾何的研究。必須指出的是，一幅圖像經(jīng)過(guò)小波變換分解后，有兩種相似性可供利用。i種是子圖像本身的自相似性，也即編碼時(shí)子圖像作為一幅空間域的圖像可以利用通常的分形圖像編碼方法單獨(dú)進(jìn)行圖像壓縮編碼；另一種是同方向不同分辨率的子圖像Z間的互相似性。由于小波分解后低分辨率了圖像的范圍比高分辨率了圖像的范圍小一倍，故該編碼方法較-?般的分形編碼方法大大縮短了編碼的時(shí)間就編碼的效果而言，該方法也比較令人滿意。三、小波與現(xiàn)代科學(xué)思想方法小波分析的發(fā)展，一方而需要從理論上捉高和豐富，尤其是三維和三維以上的小波理論（因?yàn)樗鼈冞€不成熟）；另
7、一方面需要在應(yīng)用中提出更多的研究課題，使小波應(yīng)用的深度和廣度得到進(jìn)一步拓展。出于小波理論處理問(wèn)題的特殊技巧和特殊效果，小波分析不僅為純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)提供了新的強(qiáng)有力的工具，而且為多媒體、信息高速公路某些核心技術(shù)提供了理論保證。2002年10月28日A21教室
