拋物型方程數(shù)值解.pdf

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1、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱拋物型微分方程數(shù)值解所屬課程名稱微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)類型驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)日期2015-4-23班級(jí)信計(jì)12-2班學(xué)號(hào)201253100212姓名黃全林成績(jī)一、實(shí)驗(yàn)概述:【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹空莆諕佄镄头匠痰挠邢薏罘址?,并學(xué)會(huì)應(yīng)用有限差分法求解拋物型方程數(shù)值解的MATLAB實(shí)現(xiàn)。本文利用向前差分法求解拋物型方程的數(shù)值解。【實(shí)驗(yàn)原理】拋物型方程的先前差分法求解:方程離散:n?1nnnnu?uu?2u?ujjj?1jj?1??sint,j?1,???,J?1,n?1,???,N2n?h邊值條件:n?1n

2、nnnu0?u0u1?2u0?u?1nn??sin,tu?u,j?0,2n?11?hn?1nnnnuJ?uJuJ?1?2uJ?uJ?1nnj?J,?2?sin,tunJ?1?uJ?1.?h初值條件:u?xj,0??cos?xj,j?0,1,???,J.【實(shí)驗(yàn)環(huán)境】1.硬件環(huán)境第1頁(yè)共17頁(yè)2.2.軟件環(huán)境MATLAB7.0二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】(實(shí)驗(yàn)步驟)實(shí)驗(yàn)任務(wù)求解一維拋物方程的初邊值問(wèn)題:2?u?u??sin,0t?x?1,t?0,2?x?xux?0,t??ux?1,t??0,t?0,u?x,0??cos?x

3、,0?x?1.2??t?精確解:u?ecos?x??1cos.?t??利用向前差分法求解利用MATLAB進(jìn)行求解,編輯函數(shù)文件hql_xiangqianchafen.m。源程序見(jiàn)附錄。編輯調(diào)用函數(shù)hql_xiangqianchafen(h,m,n,kmax,ep)的腳本文件,并作出相應(yīng)的求解曲面、精確解曲面和誤差曲面圖形。hql_paowufangcheng.m源程序見(jiàn)附錄。運(yùn)行上述hql_paowufangcheng.m文件:(1)當(dāng)空間步長(zhǎng)為0.1,時(shí)間步長(zhǎng)為0.005時(shí),結(jié)果如下:第2頁(yè)共17頁(yè)求解曲面:精確解

4、曲面:誤差曲面:第3頁(yè)共17頁(yè)通過(guò)相應(yīng)曲面的對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)精確解與數(shù)值解圖形逼近效果明顯趨同。下面分別固定空間x和時(shí)間t,觀察數(shù)值解與精確解的逼近程度。A.時(shí)間固定,空間x與u的關(guān)系:數(shù)值解:精確解:第4頁(yè)共17頁(yè)誤差:數(shù)值解與精確解在x方向上的走勢(shì)趨同。B.空間x固定,觀察時(shí)間t與u的走勢(shì),結(jié)果如下:第5頁(yè)共17頁(yè)數(shù)值解:精確解:誤差:第6頁(yè)共17頁(yè)可以看出在時(shí)間方向基本趨同。(2)縮小步長(zhǎng),觀察對(duì)輸出的影響,取空間步長(zhǎng)為0.1,時(shí)間步長(zhǎng)為0.001,輸出結(jié)果為:求解曲面:第7頁(yè)共17頁(yè)精確解曲面:誤差曲面:

5、第8頁(yè)共17頁(yè)通過(guò)相應(yīng)曲面的對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn),此時(shí)精確解與數(shù)值解圖形逼近效果明顯趨同。下面分別固定空間x和時(shí)間t,觀察數(shù)值解與精確解的逼近程度。B.時(shí)間固定,空間x與u的關(guān)系:數(shù)值解:第9頁(yè)共17頁(yè)精確解:誤差:數(shù)值解與精確解在x方向上的走勢(shì)趨同。第10頁(yè)共17頁(yè)B.空間x固定,觀察時(shí)間t與u的走勢(shì),結(jié)果如下:數(shù)值解:精確解:第11頁(yè)共17頁(yè)誤差:可以看出在時(shí)間方向基本趨同。第12頁(yè)共17頁(yè)【實(shí)驗(yàn)小結(jié)】(收獲體會(huì))通過(guò)此次上機(jī)親自體驗(yàn),使我對(duì)于數(shù)值計(jì)算有了更加深刻的認(rèn)識(shí)。同時(shí),我也感覺(jué)自己的編程能力還有待提高,這對(duì)于數(shù)

6、值計(jì)算是至關(guān)重要。這直接影響到了程序的效率以及程序的運(yùn)行時(shí)間以及計(jì)算精度。在以后的學(xué)習(xí)中,更應(yīng)該加強(qiáng)這方面的鍛煉。三、指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)及成績(jī):評(píng)語(yǔ)等級(jí)評(píng)語(yǔ)及優(yōu)良中不及格格1.實(shí)驗(yàn)報(bào)告按時(shí)完成,字跡清楚,文字?jǐn)⑹隽鲿?邏輯性強(qiáng)2.實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)合理3.實(shí)驗(yàn)過(guò)程(實(shí)驗(yàn)步驟詳細(xì),記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹)4實(shí)驗(yàn)結(jié)論正確.成績(jī):指導(dǎo)教師簽名:批閱日期:附錄:源程序第13頁(yè)共17頁(yè)函數(shù)文件:文件名:hql_xiangqianchafen.mfunction[puext]=hql_xiangqianchafen(h1,h2,m,n

7、)%解拋物線型一維方程向前歐拉格式(Ut-aUxx=f(x,t),a>0)%不用解線性方程組,由下一層(時(shí)間層)的值就直接得到上一層的值%m,n為x,t方向的網(wǎng)格數(shù),例如(2-0)/0.01=200;%e為誤差,p為精確解u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h1;t=0+(0:n)*h2;for(i=1:n+1)u(i,1)=0;u(i,m+1)=0;endfor(i=1:m+1)u(1,i)=cos(pi*x(i));endfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)f(i,j)=0;ende

8、ndr=h2/(h1*h1);%此處r=a*h2/(h1*h1);a=1要求r<=1/2差分格式才穩(wěn)定for(i=1:n)for(j=2:m)u(i+1,j)=(1-2*r)*u(i,j)+r*(u(i,j-1)+u(i,j+1))+h2*f(i,j);endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)p(i,j)=exp(-pi*p

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