利用保角變換法求解定解問題.ppt

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1、第十六章保角變換法求解定解問題在許多物理問題中（如電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、流體力學(xué)和彈性力學(xué)等）經(jīng)常會遇到解平面場的拉普拉斯方程或泊松方程的問題．盡管可用前幾章的理論方法如：分離變量法或格林函數(shù)法等來解決，但當(dāng)邊值問題中的邊界形狀變得十分復(fù)雜時，分離變量法和格林函數(shù)法卻顯得十分困難，甚至不能解決．對于復(fù)雜的邊界形狀，拉普拉斯方程定解問題常采用保角變換法求解．保角變換法解定解問題的基本思想是：通過解析函數(shù)的變換（或映射，這部分知識在復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)學(xué)習(xí)過）將平面上具有復(fù)雜邊界形狀的邊值問題變換為平面上具有簡單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的邊值問題，而

2、后一問題的解易于求得．于是再通過逆變換就求得了原始定解問題的解．這就是本章將要介紹的一種解決數(shù)學(xué)物理方程定解問題中的解析法――保角變換法，它是解決這類復(fù)雜邊界的最有效方法．它特別適合于分析平面場的問題，例如靜電場的問題，由于這種求解復(fù)雜邊界的定解問題具有較大的實用價值，所以有必要單獨(dú)以一章的內(nèi)容進(jìn)行介紹．復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)系統(tǒng)介紹了保角變換理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問題。16.1保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關(guān)系在復(fù)變函數(shù)論中我們已經(jīng)知道，由解析函數(shù)實現(xiàn)的從z平面到平面的變換在的點(diǎn)具有保角性質(zhì)，因此這種變換稱為保角變換．下面我們主要討

3、論一一對應(yīng)的保角變換，即假定和它的反函數(shù)都是單值函數(shù)；或者如果它們之中有多值函數(shù)就規(guī)定取它的黎曼面的一葉．定律16.1.1如果將由到的保角變換看成為二元（實變）函數(shù)的變換由到的變量代換，則平面上的邊界變成了平面上的邊界．我們能證明，如果程，則經(jīng)過保角變換后得到的滿足拉普拉斯方也滿足拉普拉斯方程．【證明】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有(16.1.1)同理(16.1.2)兩式相加得到（16.1.3）利用解析函數(shù)的C-R條件(16.1.4)以及解析函數(shù)的實部和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質(zhì)(16.1.5)將式（16.1.4）和式（16.1.5）代入到式（16.1

4、.3）化簡后得到注意到上式已經(jīng)使用了：對于保角變換因而只要滿足拉普拉斯方程，則）也滿足拉普拉斯方程，即為（16.1.6）這樣我們就有結(jié)論：如果在平面上給定了的拉普拉斯方程邊值問題，則利用保角變換，可以將它轉(zhuǎn)化為平面上的拉普拉斯方程邊值問題．同理可以證明，在單葉解析函數(shù)變換下，泊松方程(16.1.7a)仍然變?yōu)椴此煞匠蹋?6.1.7b）由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度發(fā)生了變化．同理可以證明，亥姆霍茲方程(16.1.8a)經(jīng)變換后仍然變?yōu)楹ツ坊羝澐匠?16.1.8b)容易注意到方程要比原先復(fù)雜，且前的系數(shù)可能不是常系數(shù)．下面將舉例說明如

5、何通過保角變換法來求解拉普拉斯方程．保角變換法的優(yōu)點(diǎn)不僅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的類型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將復(fù)雜邊界問題變?yōu)楹唵芜吔鐔栴}，從而使問題得到解決．16.2保角變換法求解定解問題典型實例例16.2.1設(shè)有半無限平板，在邊界=0上，處保持溫度處保持溫度=0．求平板上的穩(wěn)定溫度分布．【解】根據(jù)題意可得出定解問題（16.2.1）作如下的保角變換．（1）作分式線性變換(16.2.2)可以驗證，考慮實軸的對應(yīng)關(guān)系：圖16.1(i)若，則，故，即有(ii)若則或（a）首先討論的情況,考慮到題給條件則故（b）再考慮的情況,則故如

6、圖16.1所示，根據(jù)(16.2.1)式中的邊界條件，對應(yīng)于處溫度為，故平面的負(fù)實軸（即）溫度保持為；而在處有，故平面的正實軸溫度保持為零．（2）作變換(16.2.3)把平面的上半平面變成平面上平行于實軸，寬為的一個帶形區(qū)域，平面的正實軸變換為平面的實軸（正實軸輻角為零，故對應(yīng)于），平面的負(fù)實軸變換為平面的平行于實軸的直線,故對應(yīng)于）．（負(fù)實軸輻角為于是，在變換(16.2.4)之下，定解問題變換為(16.2.5)在這種情況下，等溫線是與實軸平行的直線=常數(shù)，熱流線則是與虛軸平行的直線=常數(shù)．在(,)坐標(biāo)系中，由對稱性知拉普拉斯方程的解與無關(guān)，因此，定

7、解問題又簡化為（16.2.6）方程的解是考慮邊界條件即得到（16.2.7）回到平面，則例16.2.2試求平面靜電場的電勢分布，其中（16.2.8）(16.2.9)【解】變換使上半平面變成平面上的帶形域（圖16.2）,然的，類似于上面定解問題(16.2.6)的結(jié)果(16.2.7),則本定解問題可歸結(jié)為而在帶形域上的解是顯(16.2.10)圖１６．２而所以于是，作反變換便可求得所求問題的解為進(jìn)一步討論：（1）同理可證是下列定解問題的解（說明：這里的和下面的不代表求導(dǎo)，是指彼此不同的值）(2)同理可證是下列定解問題的解(3)可證是下列定解問題的解：其中又

8、可改寫成（4）進(jìn)一步推廣是下列定解問題的解例16.2.3若把柱面充電到試用保角變換法求解一半徑為的無限長導(dǎo)體圓柱殼內(nèi)的電場