利用三角代換法解競賽題

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1、·課外園地·數(shù)學(xué)通訊一2010年第1期(下半月)53利用三角代換法解競賽題傅平修(山東師大附中，250014)在解決有關(guān)的競賽問題時，常借助于題目顯現(xiàn)的某些結(jié)構(gòu)特征，引入三角代換，將所給問題轉(zhuǎn)化為講解由口+。=}％聯(lián)系tan(號+們=1+tan0含有角的問題，然后運(yùn)用三角函數(shù)的變換和性質(zhì)進(jìn)1一tan0’行求解．三角代換法是一種實(shí)用有效的解題方法，同可作代換切n，則tan+1=tan(4+0．)，時具有技巧性強(qiáng)的特征．’例1(2008年湖北省預(yù)賽試題)設(shè)數(shù)列{口}．．tan+4=tan，即口+4=a，所以數(shù)列11ta}是以4為周期的周期數(shù)列．從而a2008。n0(可滿

2、足al=寺，an+I=(≥1)，則a20o8=’讓口-=)，則口zoos=一1．題28設(shè)定義在[zl，2】上的函數(shù)Y=f(x)g(1~g25)=log2面1一+1，即忌的最小值為的圖象為c，C的端點(diǎn)為A、B，M是C上任意一點(diǎn)，向量=(l，Y1)，=(z2，Y2)，=(，．11．．啦面一面十I·)，若z=l+(1一)2，記向量=+(1(2)對于函數(shù)Y=log2x，A(1，0)，B(2，1)，一)．現(xiàn)定義“函數(shù)Y=廠(z)在[l，2]_k-．-I在M(x，log2x)，其中過A，B的直線為：y：．27—1，標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指lI≤志恒成立，其中kN(z，z一1)．是

3、一個確定的正數(shù)．II：log2x一(一1)，令g()=log2一((1)試給出對于函數(shù)y=2在區(qū)間[0，1]上的一1)，g(z)=·一1。可知在[1，2]上當(dāng)=k的最小值；(2)試給出對于函數(shù)Y=log2x在區(qū)間[1，2]上時，g(z)=0，在[1，i1]上g()為增函數(shù)，在[壺，的k的最小值．2]上g(z)為減函數(shù)，故可取得最大值為解由：+(1一)得到貳=蔭，所以B，N，A三點(diǎn)在一條直線上，由=，+g(壺)=l。g2磁1一+1，即k的最小值為(1一．：【)Lz2得N在線段AB上且與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)相．11．．og2砸一i十L同，0≤≤1．考察目標(biāo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

4、性、最值，(1)對于函數(shù)Y=2，A(0，1)，B(1，2)，M(，共線向量基本定理，對信息的處理能力和靈活轉(zhuǎn)化2)，其中過A，B的直線為ZAB：=X+l，N(,27，能力，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．+1)．設(shè)計(jì)思路以數(shù)值近似為出發(fā)點(diǎn)，在小區(qū)間范fl：(z+1)一2，令g(x)=(z十1)一2，圍內(nèi)以直線的函數(shù)值代替真實(shí)值．主要通過對信息g(z)=1—2ln2，可知在[0，1]上當(dāng)：l。南的理解，考察分析問題的能力，突出了數(shù)學(xué)的探索意識，緊扣高考試題改革脈搏．時，g()=0，在[0，1og2南]上g(z)為增函數(shù)，在難度系數(shù)0．45．[Io或，2]上g(z)為減函數(shù)，故可取得最大

5、值為設(shè)計(jì)人姜本超(黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)163316)數(shù)學(xué)通訊一2010年第1期(下半月)·課外園地·’-l￡+711>／2·￡+_1=2+2vr3．，．．，·例2(2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知．．t=√j+1±√3+2v3．(舍去“+”)z，都在區(qū)間(一2，2)內(nèi)，且xy一1，則函數(shù)l}z：上一：壘一2f二COS40麗—，_一，4+的最小值為’()I【——一9——36643sin40了(A)詈(B)醬(c)(D)_152其中t：+1一√3+2．說明通過三角代換，使解方程時的消元變得簡單，同時要注意三角運(yùn)算時的代數(shù)代換．例4(第33屆IMO試題)如果z，，z>

6、1，cos口o。s盧一吉，于是有且+1+12，證明：≥v廠+Z32z【垡巨I：，+．—L．歷+歷．sinasinp’3sinasinp‘講解為去掉結(jié)論中的部分根號，同時兼顧條件中的，一1，一1，可設(shè)‘．nn盧≤吾，．·．≥2+13·65=了12．上z=，’Y=一，c—os—2y，，，y∈(0，當(dāng)且僅當(dāng)oo~口cot2~，且sin口sinp6時，即號)，則條件簡化為∞s2a+∞s2+cody=2，即{或{喜’時等號成立．sin2口+sin2fl+sin2y=1，待證不等式變形為說明引入三角代換后，簡化了的結(jié)構(gòu)，突[(sin2a+sin2盧+sin2y)(++芻)]l≥

7、++器．由柯西不等式得證．當(dāng)且僅當(dāng)sinacosa=sinflcosfl=sinyeos7即口=盧=7時，亦即X==『(1+)=2①=要時等號成立．【(1一)=6②說明這里的換元既把要證不等式右邊的根號化掉，又去掉了條件中的分母，因此，這里的換元起講解由①、②易得士十3：1，故可設(shè)—：～z～～到“一石二鳥”的功效，本題亦可設(shè)z=÷，Y=口，3sin-口=sin2(0<<號．-)，11—sin—Zfl’—sin—27’·==．．，，代人①化簡得：例5(第2O屆伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克)設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a+6+c+abc=4，證明：a+b+冬∞s2=￡，貝t4—4t