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1、○數(shù)學(xué)教學(xué)與研究2011年第70期周刊有關(guān)數(shù)列極限的幾個典型例題岳靜（宿遷高等師范學(xué)校，江蘇宿遷223800）摘要：作者通過實(shí)例分析了數(shù)列收斂和發(fā)散時通項(xiàng)的1lim（lnx+lnx+…+lnx）=lnA.一些特點(diǎn)，并討論數(shù)列不滿足單調(diào)有界定理、迫斂定理、柯西12nn→∞n收斂準(zhǔn)則和兩個重要極限的條件時的收斂性問題.1（lnx+lnx+…+lnx）12n關(guān)鍵詞：數(shù)列極限單調(diào)有界定理迫斂定理柯西收nnlnA從而limxx…xe=e=A.姨12n=limn→∞n→∞斂準(zhǔn)則兩個重要極限當(dāng)A=0時，limx=-∞，故nn→∞數(shù)列收斂性問題在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中既是難點(diǎn)又是重點(diǎn)，1lim（lnx+ln
2、x+…+lnx）=-∞，數(shù)列收斂問題的判別方法通常有以下幾種：單調(diào)有界定理、迫n→∞n12n斂定理、柯西收斂準(zhǔn)則和兩個重要極限等.解決問題的關(guān)鍵是1（lnx+lnx+…+lnx）12n如何正確理解并選擇合適的方法.本文通過一些典型例題來nn于是limxx…xe=0.姨12n=lim討論數(shù)列的收斂性問題.n→∞n→∞注1：例1和例2的逆命題不成立.例1.若limx=A，其中A是有限數(shù)、+∞或-∞，則有l(wèi)imnnn→∞n→∞例如數(shù)列{x}，其中x=（-1）（n=1，2，3…）.易知limnnx+x+…+xn→∞12n=A.x+x+…+xn12n不存在.對于數(shù)列{y=0，但是極限limx}
3、，其中y=nnnn證明：當(dāng)A是有限數(shù)時，由limx=A，坌ε＞0，堝N，當(dāng)n＞Nnn→∞n11n→∞n（n=1，2，3…）.容易看出limyy…y，但是極限limy不存在.ε姨12n=1n時，有
4、x-A
5、＜.n→∞n→∞n2xn+1定理1：設(shè)x＞0（n=1，2，3…），滿足lim=A（A是有限或因此nn→∞xnx+x+…+x（x-A）+（x-A）+…+（x-A）n12n12n無窮），則有l(wèi)imx-A≤姨n=A.n→∞nn證明：不妨設(shè)
6、x1-A
7、+…+
8、xN1-A
9、
10、xN1+1-A
11、+…+
12、xn-A
13、xx≤+2nnny1=x1，y2=，…，yn=，….xxkn-NεKε1n-11＜+·
14、＜+，由例2得：nn2n2nlimyy…yy，其中K=
15、x-A
16、+…+
17、xN-A
18、.n→∞姨12n=nlim→∞n11Kε所以又存在N，當(dāng)n＞N時，＜.22xxn2nnnn+1limxyy…yy=lim=lim=A.姨n=lim姨12n=limn因此當(dāng)n＞max{N，N}時，n→∞n→∞n→∞n→∞xn→∞x12n-1nx1+x2+…+xnεε例3.證明：limn=e-A＜+=ε.n→∞nn22姨n！n當(dāng)A=+∞時，由limxn=+∞，坌M＞0，堝N1，當(dāng)時n＞N1，因此xn＞3M.nn→∞證明：設(shè)x=，則n因此n！n+1x1+x2+…+xnx1+x2+…+xN1xN1+1+xN2+
19、2+…+xnxn+1（n+1）n！1n=+lim=lim·=lim（1+）=e.nnnn→∞xn→∞（n+1）！nn→∞nnnKn-N1由定理1得＞+·3M，nnnnlim=limxn-Nn姨n=eK1n→∞姨n！n→∞其中K=x1+x2+…+xN1.由于→0，→1（n→∞），nnn例4.求極限lim
20、K
21、Mn-N1n→∞n從而存在N，當(dāng)n＞N時，＜，1＞.故姨（2n-1）！！22n2n2nnx1+x2+…+xn11解：令xn=，則＞·3M-M=M.（2n-1）??！n22n+1xn+1（n+1）（2n-1）?。?nn+1e類似可證A=-∞情形.lim=lim·=lim（1+）=.n→
22、∞xn→∞（2n+1）！！nn→∞n2n+12例2.若limnnnx=A，且x＞0（n=1，2，3，…），則limxx…xnn姨12n=A.n→∞n→∞由定理1得證明：由limx=A，且x＞0（n=1，2，3，…），得A≥0.n→∞nnnnelim=limx.n姨n=當(dāng)A＞0時，limlnx=lnA，由例1，n→∞n→∞2n姨（2n-1）！！n→∞76周刊2011年第70期○數(shù)學(xué)教學(xué)與研究數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用丁金霞（丹陽市珥陵高級中學(xué)，江蘇丹陽213362）所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，將數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想方法.某些數(shù)量關(guān)系的問題可以借助于它們圖形
23、的性質(zhì)，使問題變得直觀而形象；某些涉及圖形的問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而獲得簡潔而一般的解法；還有些問題同時使用圖形和數(shù)量關(guān)系，也可以得到很簡便的解法.因此，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題可以使許多數(shù)學(xué)問題變得形象而簡單.數(shù)形結(jié)合通常包括以形助數(shù)、以數(shù)助形、數(shù)形互助三方圖1面.作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上包含兩方面的含義：一%2%2解：f（x）=姨x+15-姨x+6x+13方面對“形”的問題，引入坐標(biāo)系或?qū)ふ移鋽?shù)量關(guān)系式，用“數(shù)”%2%2%22的分析加以解
