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1、高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第五講無(wú)窮小量與無(wú)窮大量、極限的運(yùn)算法則第二章極限本次課學(xué)習(xí)要求：理解無(wú)窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無(wú)窮小量間的關(guān)系。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。掌握極限的運(yùn)算法則。第三節(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一.無(wú)窮小量二.無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量及其運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)言之,在某極限過(guò)程中,以0為極限的量稱(chēng)該極限過(guò)程中的一個(gè)無(wú)窮小量.例1在任何一個(gè)極限過(guò)程中,常值函數(shù)y=0均為無(wú)窮小量.1.無(wú)窮小量的定義定義2.函數(shù)的極限與無(wú)窮小量的關(guān)系分析反之亦然.由以上的分析,你可得出什么結(jié)論?
2、由此可看出,尋找函數(shù)極限運(yùn)算法則可歸結(jié)為尋找無(wú)窮小量的運(yùn)算法則.定理同一個(gè)極限過(guò)程中的有限個(gè)無(wú)窮小量之和仍是一個(gè)無(wú)窮小量.同一個(gè)極限過(guò)程中的有限個(gè)無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量.3.無(wú)窮小量的運(yùn)算法則常數(shù)與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量.在某極限過(guò)程中,以極限不為零的函數(shù)除無(wú)窮小量所得到商仍為一個(gè)無(wú)窮小量.在某一極限過(guò)程中,無(wú)窮小量與有界量之積仍是一個(gè)無(wú)窮小量.證明：在某極限過(guò)程中,兩個(gè)無(wú)窮小量之和仍是一個(gè)無(wú)窮小量.證證明:在某一極限過(guò)程中,無(wú)窮小量與有界量的積仍是一個(gè)無(wú)窮小量.證例2證證明有界量與無(wú)窮小量的乘積證明：在某極限過(guò)程中以
3、極限不為零的函數(shù)除無(wú)窮小量所得到商仍為一個(gè)無(wú)窮小量.證有界量與無(wú)窮小量之積(i)一般說(shuō)來(lái),有界量的倒數(shù)不一定有界.例如,f(x)=x,x?(0,1).(ii)我們沒(méi)有涉及兩個(gè)無(wú)窮小量商的極限的情形,因?yàn)樗那樾屋^復(fù)雜,將在以后專(zhuān)門(mén)討論.注意：例3解二.無(wú)窮大量定義1.無(wú)窮大量的定義例4(iii),(iv)自己畫(huà)畫(huà)圖會(huì)更清楚.例5解無(wú)窮大量是按絕對(duì)值定義的.例6無(wú)窮大量是否一定是無(wú)界量?在某極限過(guò)程中,無(wú)界量是否一定是無(wú)窮大量?但該數(shù)列是無(wú)界的.當(dāng)x??時(shí),函數(shù)sinx、cosx,是否為無(wú)窮大量？因?yàn)閟inx、cosx是有界
4、函數(shù),所以在任何極限過(guò)程中它們都不是無(wú)窮大量.2.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系(無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小量,x?0)(無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量,x?0)則例7在某一極限過(guò)程中根據(jù)定義同學(xué)們課后自己進(jìn)行證明.定理無(wú)窮大量一定是同一極限過(guò)程中的無(wú)界量.反之不真3.無(wú)窮大量的運(yùn)算性質(zhì)在某極限過(guò)程中,兩個(gè)無(wú)窮大量之積仍是一個(gè)無(wú)窮大量.在某極限過(guò)程中,無(wú)窮大量與有界量之和仍為無(wú)窮大量.不是無(wú)窮大量是無(wú)窮大量例8兩個(gè)無(wú)窮大量的和是否仍為無(wú)窮大量?考察例9有界量與無(wú)窮大量的乘積是否一定為無(wú)窮大量？不著急,看個(gè)例題:例9有界量與無(wú)窮大量的乘積是
5、否一定為無(wú)窮大量？不著急,看個(gè)例題:不一定再是無(wú)窮大量.結(jié)論:在某個(gè)極限過(guò)程中,無(wú)窮大量一定是無(wú)界量,但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量.兩個(gè)無(wú)窮大量的和不一定是無(wú)窮大量.無(wú)窮大量與有界量之積不一定是無(wú)窮大量.第四節(jié)極限的運(yùn)算極限運(yùn)算法則的理論依據(jù)依據(jù)無(wú)窮小量的運(yùn)算法則定理法則由此你能不能寫(xiě)出極限四則運(yùn)算公式？一.極限的運(yùn)算法則和的極限等于極限的和.乘積的極限等于極限的乘積.商的極限等于極限的商(分母不為零).差一點(diǎn)!?結(jié)論成立的條件.設(shè)在某極限過(guò)程中,函數(shù)f(x)、g(x)的極限limf(x)、limg(x)存在,則法則1、3可推
6、廣至有限個(gè)函數(shù)的情形.法則6中換成其極限仍為注：由極限運(yùn)算理論根據(jù)中的定理及無(wú)窮小量的運(yùn)算法則,容易證明上述各公式.復(fù)合函數(shù)的極限有什么問(wèn)題沒(méi)有？7.復(fù)合函數(shù)的極限計(jì)算定理注意這個(gè)條件,缺了它定理不一定成立.證由極限的定義,即要證明：綜上所述：該定理可以推廣到其它幾種極限過(guò)程中去.解例1求求有理分式函數(shù)x?x0的極限時(shí),若分母不等于零,則可直接代值計(jì)算.解例2初等展開(kāi)解例3有理化解例4有理化解例5求故部分分式法例6證明原式由即得所證.證解例7或者用下面的方法利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系涉及到兩個(gè)無(wú)窮大量的差解例8所以,由復(fù)
7、合函數(shù)求極限法則這類(lèi)復(fù)合函數(shù)的極限通常可寫(xiě)成解例9這是求冪指函數(shù)極限常用的方法:解例10這是兩個(gè)無(wú)窮大量相減的問(wèn)題.我們首先進(jìn)行通分運(yùn)算,設(shè)法去掉不定因素,然后運(yùn)用四則運(yùn)算法則求其極限.(通分)解例11問(wèn)b取何值時(shí),存在,并求其值.若?由函數(shù)的極限與其左、右極限的關(guān)系,得b=2,,,解例12并由此證明其中,n,m?N.求第二問(wèn)怎么做？令則當(dāng)x?0時(shí),y?0,故下面證明.變量代換例13解作業(yè)看懂書(shū)上未講的例題P617(2)(4)P628(4)(6)(7)(9)預(yù)習(xí)極限存在定理，兩個(gè)重要極限(第二章第五六節(jié))
