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1、2.8季節(jié)時間序列模型在某些時間序列中，存在明顯的周期性變化。這種周期是由于季節(jié)性變化（包括季度、月度、周度等變化）或其他一些固有因素引起的。這類序列稱為季節(jié)性序列。比如一個地區(qū)的氣溫值序列（每隔一小時取一個觀測值）中除了含有以天為周期的變化，還含有以年為周期的變化。在經(jīng)濟領(lǐng)域中，季節(jié)性序列更是隨處可見。如季度時間序列、月度時間序列、周度時間序列等。處理季節(jié)性時間序列只用以上介紹的方法是不夠的。描述這類序列的模型之一是季節(jié)時間序列模型(seasonalARIMAmodel)，用SARIMA表示。較早文獻也稱其為乘積季節(jié)模型（multiplicativeseason
2、almodel）。設(shè)季節(jié)性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的變化周期為s，即時間間隔為s的觀測值有相似之處。首先用季節(jié)差分的方法消除周期性變化。季節(jié)差分算子定義為，Ds=1-Ls若季節(jié)性時間序列用yt表示，則一次季節(jié)差分表示為Dsyt=(1-Ls)yt=yt-yt-s對于非平穩(wěn)季節(jié)性時間序列，有時需要進行D次季節(jié)差分之后才能轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)的序列。在此基礎(chǔ)上可以建立關(guān)于周期為s的P階自回歸Q階移動平均季節(jié)時間序列模型（注意P、Q等于2時，滯后算子應(yīng)為(Ls)2=L2s。AP(Ls)DsDyt=BQ(Ls)ut(2.60)對于上述模型，相當(dāng)于假定ut是平穩(wěn)的、非自
3、相關(guān)的。當(dāng)ut非平穩(wěn)且存在ARMA成分時，則可以把ut描述為Fp(L)Ddut=Qq(L)vt(2.61)其中vt為白噪聲過程，p,q分別表示非季節(jié)自回歸、移動平均算子的最大階數(shù)，d表示ut的一階（非季節(jié)）差分次數(shù)。由上式得ut=Fp-1(L)D-dQq(L)vt(2.62)把(2.62)式代入(2.60)式，于是得到季節(jié)時間序列模型的一般表達式。Fp(L)AP(Ls)(DdDsDyt)=Qq(L)BQ(Ls)vt(2.63)其中下標(biāo)P,Q,p,q分別表示季節(jié)與非季節(jié)自回歸、移動平均算子的最大滯后階數(shù)，d,D分別表示非季節(jié)和季節(jié)性差分次數(shù)。上式稱作(p,d,q)′
4、(P,D,Q)s階季節(jié)時間序列模型或乘積季節(jié)模型。保證（DdDsDyt）具有平穩(wěn)性的條件是Fp(L)AP(Ls)=0的根在單位圓外；保證（DdDsDyt）具有可逆性的條件是Qq(L)BQ(Ls)=0的根在單位圓外。當(dāng)P=D=Q=0時，SARIMA模型退化為ARIMA模型；從這個意義上說，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。當(dāng)P=D=Q=p=q=d=0時，SARIMA模型退化為白噪聲模型。(1,1,1)′(1,1,1)12階月度SARIMA模型表達為(1-f1L)(1-a1L12)DD12yt=(1+q1L)(1+b1L12)vtDD12yt具有平穩(wěn)性的條件是
5、
6、f1
7、<1，
8、a1
9、<1，DD12yt具有可逆性的條件是
10、q1
11、<1，
12、b1
13、<1。設(shè)log(Yt)=yt，變量DD12yt在EViews中用DLOG(Y,1,12)表示（這樣表示的好處是EViews可以直接預(yù)測到Y(jié)），上式的EViews估計命令是DLOG(Y,1,12)AR(1)SAR(12)MA(1)SMA(12)(0,1,1)′(0,1,1)12階月度SARIMA模型表達為DD12yt=(1+q1L)(1+b1L12)vt(2.64)(2.64)式的EViews估計命令是DLOG(Y,1,12)MA(1)SMA(12)由(2.64)式得DD12yt=(1+q
14、1L)(1+b1L12)vt=vt+q1Lvt+b1L12vt+q1b1L13vt=vt+q1vt–1+b1vt–12+q1b1vt–13上式對應(yīng)的EViews估計命令是DLOG(Y,1,12)MA(1)MA(12)MA(13)模型表達式是DD12yt=vt+q1vt–1+q12vt–12+q13vt–13這是一個非季節(jié)模型表達式。以上兩個EViews估計命令是等價的，都是估計MA(13)模型。注意：唯一不同點是上式對vt–13的系數(shù)沒有約束，而對季節(jié)模型來說，相當(dāng)于增加了一個約束條件，q13=q1b1。進一步化簡D(yt–yt-12)=vt+q1vt–1+b1v
15、t–12+q1b1vt–13Dyt–Dyt-12=vt+q1vt–1+b1vt–12+q1b1vt–13用于預(yù)測的模型型式是yt=yt-1+yt-12–yt–13+vt+q1vt–1+b1vt–12+q1b1vt–13(2.65)從上式可以看出SARIMA模型可以展開為ARIMA模型。對乘積季節(jié)模型的季節(jié)階數(shù)，即周期長度s的識別可以通過對實際問題的分析、時間序列圖以及時間序列的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖分析得到。以相關(guān)圖和偏相關(guān)圖為例，如果相關(guān)圖和偏相關(guān)圖不是呈線性衰減趨勢，而是在變化周期的整倍數(shù)時點上出現(xiàn)絕對值相當(dāng)大的峰值并呈振蕩式變化，就可以認(rèn)為該時間序列可以用SARI
16、MA模型描
