關于矢量場,標量場,散度,梯度和旋度的分析理解

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1、1.梯度gradient設體系中某處的物理參數(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐氏空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況。在單變量的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，

2、對于一個線性函數，也就是線的斜率。梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被成為梯度。在二元函數的情形，設函數z=f(x,y)在平面區(qū)域D內具有一階連續(xù)偏導數，則對于每一點P(x,y)∈D，都可以定出一個向量(δf/x)*i+(δf/y)*j這向量稱為函數z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作gradf(x,y)類似的對三元函數也可以定義一個：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k記為grad[f(x,y,

3、z)]2.散度氣象學中指：散度指流體運動時單位體積的改變率。簡單地說，流體在運動中集中的區(qū)域為輻合，運動中發(fā)散的區(qū)域為輻散。用以表示的量稱為散度，值為負時為輻合，此時有利于天氣系統(tǒng)的的發(fā)展和增強，為正時表示輻散，有利于天氣系統(tǒng)的消散。表示輻合、輻散的物理量為散度。微積分學→多元微積分→多元函數積分中：設某量場由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k給出，其中P、Q、R具有一階連續(xù)偏導數，∑是場內一有向曲面，n是∑在點(x,y,z)處的單位法向量，則∫∫A·ndS叫做向量場A

4、通過曲面∑向著指定側的通量，而δP/δx+δQ/δy+δR/δz叫做向量場A的散度，記作divA，即divA=δP/δx+δQ/δy+δR/δz。上述式子中的δ為偏微分（partialderivative）符號。3旋度表示曲線、流體等旋轉程度的量4.矢量和標量場假設有一個三維空間，顯然空間的每一個點都能用坐標（x,y,z）唯一地標識出來。假如給空間的每一個點都賦予一個數字，那么整個空間就充滿了數字。此時，這個充滿數字的三維空間在數學上就叫做“場”。上述的場叫做標量場，因為單純的一個數字叫做“標量(scalar)

5、”。如果我們給空間的每一個點都賦予一個矢量(vector)，即一個既有大小，又有方向的東西，那么整個空間就變成充滿了矢量，這個空間就叫做矢量場。矢量場中的每一點都對應于一個矢量，而矢量能夠根據規(guī)則進行各種運算，例如加、減和乘等（數學上沒有矢量的除法）。顯然，我們可以對整個矢量場中的每一個矢量同時進行某種運算，例如同時將它們乘以一個數，或加上一個數等。但是我們可以對整個矢量場進行一些更復雜的運算，其中散度就是其中一種。三維空間中的一個矢量可以沿x、y和z方向分解，現假設空間的某一點被賦予的矢量能夠沿著這3個方向分

6、解為大小為P、Q和R的三個分量，表示為（P，Q，R）。注意，由于空間中每個點被賦予的矢量一般來說是不同的，所以P、Q和R的大小在空間的不同的點一般有不同的值，也就是說P、Q和R中每一個都是x、y和z的函數。對三維矢量場來說，我們可以對其中一個點的矢量，假設為（P，Q，R）進行以下操作：1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P對x的一階偏導數，其余雷同；2、將這個值賦予這個點對整個矢量場的每個點均進行以上運算，就等于給整個三維空間的每個點都賦予了一個值，于是我們就得出了一個新的標量場

7、，這個標量場就叫做原來的矢量場的散度(divergence)，這種運算就叫做“對矢量場取散度”。除了散度運算以外，我們還可以對矢量場進行其它的運算，例如旋度運算(curl)。跟散度運算不同，旋度運算的結果不是標量場，而是另一個矢量場。而渦度就是一個速度場的旋度，顯然渦度是一個矢量場的一個類型。