梯度、散度和旋度

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1、梯度、散度和旋度?(2011-09-1220:36:08)轉(zhuǎn)載▼標(biāo)簽：?旋度?散度?梯度?矢量場(chǎng)?拉普拉斯算子?波動(dòng)方程分類(lèi)：?電子技術(shù)???梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因?yàn)槿呤侨N偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算形式。這里假設(shè)讀者已經(jīng)了解了三者的定義。它們的符號(hào)分別記作如下：??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????從符號(hào)中可以獲得這樣的信息：①求梯度是針對(duì)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個(gè)矢量函數(shù)。這里

2、φ稱(chēng)為勢(shì)函數(shù)；②求散度則是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，跟求梯度是反一下的；③求旋度是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的還是一個(gè)矢量函數(shù)。這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續(xù)作用兩次，而一維波動(dòng)方程具有如下的形式???????????????????????????????(1)其中a為一實(shí)數(shù)，于是可以設(shè)想，對(duì)于一個(gè)矢量函數(shù)來(lái)說(shuō)，要求得它的波動(dòng)方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計(jì)算式：??????????????????????

3、???(2)??????????????????????????(3)???????????????????????????(4)旋度公式略顯復(fù)雜。這里結(jié)合麥克斯韋電磁場(chǎng)理論，來(lái)討論前面幾個(gè)“X度的X度”。?I.梯度的散度：根據(jù)麥克斯韋方程有：??????????????????????????????????而??????????????????????????????????(5)則電勢(shì)的梯度的散度為????????????????????????????這是一個(gè)三維空間上的標(biāo)量函數(shù)，常記作?????????????????????????????????(6)稱(chēng)為

4、泊松方程，而算符▽2稱(chēng)為拉普拉斯算符。事實(shí)上因?yàn)槎x????????????????????????????????所以有???????????????????????????????當(dāng)然，這只是一種記憶方式。當(dāng)空間內(nèi)無(wú)電荷分布時(shí)，即ρ=0，則稱(chēng)為拉普拉斯方程??????????????????????????????????????當(dāng)我們僅需要考慮一維情況時(shí)，比如電荷均勻分布的無(wú)限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場(chǎng)，我們知道該電場(chǎng)只有一個(gè)指向，場(chǎng)強(qiáng)處處相等，于是該電場(chǎng)滿(mǎn)足一維拉普拉斯方程，即?????????????????????????????????????

5、這就是說(shuō)如果那邊平行板電容器的負(fù)極板接地，則板間一點(diǎn)處的電壓與該點(diǎn)距負(fù)極板的距離呈線性關(guān)系。?II.散度的梯度：散度的梯度，從上面的公式中可以看到結(jié)果會(huì)比較復(fù)雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因?yàn)閺柠溈怂鬼f方程可以看出空間某點(diǎn)處電場(chǎng)的散度是該點(diǎn)處的電荷密度，那么再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說(shuō)清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個(gè)濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴(kuò)散，最后均勻。在半導(dǎo)體中，載流子分布的不均勻會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)散電流。散度的梯度這個(gè)概念其實(shí)不常用，因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜，但在后面講用它來(lái)推導(dǎo)一個(gè)矢量恒等式。?III.梯度的旋度

6、：對(duì)于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于勢(shì)函數(shù)在空間一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)往往是有二階連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)的，因此上式的結(jié)果為0.所以說(shuō)梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比如一個(gè)人從海平面爬到一座山上，無(wú)論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機(jī)上去，重力對(duì)他所做的功總是相等的，即力場(chǎng)的做工只與位移有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)，這樣的場(chǎng)稱(chēng)為保守場(chǎng)，而保守場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。再比如繪有等高線的地圖，如果某點(diǎn)只有一個(gè)一根等高線穿過(guò)，那么該點(diǎn)有一個(gè)確定的相對(duì)高度。如果該點(diǎn)有兩條或以上的等高線穿過(guò)，則這個(gè)點(diǎn)處在懸崖邊上，這個(gè)點(diǎn)處是不可微，也就沒(méi)有求梯度的意義。?IV.旋度的散度

7、：求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。若令????????????????????????????(7)則??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????從而?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????將上面三式相加結(jié)果也為零。所以說(shuō)旋度