巧建坐標系妙解向量題.doc

《巧建坐標系妙解向量題.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、巧建坐標系妙解向量題江蘇省南通市通州區(qū)石港中學(xué)高志軍平面向量是高中數(shù)學(xué)中重要的、基本的內(nèi)容，是高考重點考查的知識.平面向量既具有代數(shù)的特征，又具有幾何的特征.有些平面向量問題主要是以向量幾何特征呈現(xiàn)命題的，我們同學(xué)在解題時，常局限于向量幾何層面上去理解進行解題.雖然這種思路能夠解決問題，但有時運算較復(fù)雜，給快速順利完成解題造成一定的困難.如果能洞察平面向量具有代數(shù)、幾何的二重性，通過巧妙建立平面直角坐標系，構(gòu)建代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁，以形思數(shù)，以數(shù)解形，解題則會事半功倍.ABCEFD圖1題型一：求平面向量數(shù)量積的值.給定平面幾何圖形，求出有關(guān)平面向量數(shù)量積的值.例1、（2012年普通高等

2、學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試江蘇卷第9題）如圖1，在矩形ABCD中，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是．從部分2012屆高考考生中了解，一般采用解法一和解法二.解法一：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，增設(shè)有關(guān)角，結(jié)合圖形完成解題.由，得，由矩形的性質(zhì)，得.∵，∴，∴.∴.記之間的夾角為，則.又∵點E為BC的中點，∴.∴.解法二：根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則，進行化歸.由得，..ABCEFDxy圖2以上兩種解法緊扣平面向量幾何特征進行，思維密度高，化歸目標意識強.5在高考緊張的心理狀態(tài)下，順利解題顯得比較困難.如果我們能根據(jù)題設(shè)條件，巧建直角坐標系，則問題解決就十分自然流暢.解法

3、三：建立直角坐標系.以分別為橫軸和縱軸建立如圖2所示的直角坐標系.則A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），E（，1）.設(shè)F（,2）.，，由，有得=1.，而，RMDOBCAETE圖3==.例2、如圖3，矩形內(nèi)放置5個邊長均為1的小正方形，其中在矩形的邊上，且為的中點，則.此題是筆者在對2012屆高三進行復(fù)習(xí)時的一道練習(xí)題，全班51名學(xué)生僅有16人做到正確答案.為什么正答率這樣低？原因有二，RMDOBCAETExy圖4其一，學(xué)生僅結(jié)合圖形對進行線性運算，難度較大；其二，是不能巧妙建立直角坐標系.習(xí)性上是以為軸、為軸建立直角坐標系.這樣，解題較繁，造成解題失敗.事實上，解題突破

4、的關(guān)鍵是“5個邊長均為1的小正方形”，應(yīng)以正方形的邊所在的直線為坐標軸建立直角坐標系.解：以A為原點，AD為軸，建立如圖4所示的直角坐標系.則，A（0，0），B（2，-1），C（3，1），D（0，2），E（0，1）（0，1）+（1，2）=（1，3），（-2，3）.（1，3）·（-2，3）=7.題型二：三角形的面積問題.這類問題常給出三角形中一些向量關(guān)系，求有關(guān)三角形面積之比或三角形面積的最值.例3、已知中，，平面上有一點滿足=2，，則面積的最大值是.對于此題，我們同學(xué)常常根據(jù)題設(shè)條件，由向量的線性運算性質(zhì)，尋找一些基本關(guān)系，設(shè)變量，構(gòu)造三角形面積的相應(yīng)代數(shù)式，進行求解，形成了解法一.剖

5、析條件“”，知是等腰三角形，可以建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼颠M行求解，形成了解法二.解法一：==，5==.ACBP圖5.點在線段上,且，如圖5.設(shè)=，在中，由余弦定理得，==，=.====ACBPxyo圖6當(dāng)時，面積的最大值是.解法二：以BC為軸，BC的中垂線為軸，建立如圖6所示的直角坐標系.∵，設(shè)B（-，0），C（，0），A（0，）.==.∵=2，，即.=.面積的最大值是.例4、已知點在所在平面內(nèi)，若，求與的面積的比值.ACBPxy圖7我們同學(xué)在解決此題時，常感到無從下手，往往采用特殊化的方法，即將看成等邊三角形進行解題.這種特殊化的方法一般只限于解填空題.此題解題的關(guān)鍵是巧妙建立直角坐標系

6、.注意到兩個與有一個公共邊，我們可以為原點，為軸建立直角坐標系.解：以為原點，為軸建立如圖7直角坐標系.設(shè)，，.由得，2+3+4=3，5即=，=，即=..題型三：求平面向量數(shù)量積的取值范圍.已知平面幾何圖形有關(guān)動點，求相應(yīng)動向量數(shù)量積的取值范圍.ACBDxyoMN圖8例5、已知中心為的正方形的邊長為2，點、分別為線段、上的兩個不同點，且，求的取值范圍.解：以為原點，平行于直線的直線為軸，建立如圖8所示的直角坐標系.設(shè)，.則，即.設(shè).則==2+.ACPB圖9又∵，.的取值范圍是.例6、如圖9，是邊長為2的等邊三角形，是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，ACPBxyo圖10求最小值.解：

7、以AB為軸，AB的中垂線為軸，建立如圖所示的直角坐標系.則，，.點在圓上.設(shè).則====,5∵，當(dāng)時，最小值是1.平面向量的數(shù)量積是高考的C級要求，涉及平面向量的加法、減法及數(shù)乘運算，常常采用線性運算和坐標運算的思路解決問題.試題一般在非直角坐標系的狀態(tài)下給出的，我們同學(xué)往往選擇線性運算解題，這樣，有時難度較大.如果能根據(jù)題設(shè)條件，巧妙建立直角坐標系，將線性運算轉(zhuǎn)化為坐標運算，則解題就簡單得多了.5