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1、張馳有度，收放自如——例談放縮法證不等式江蘇省啟東中學張杰所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，根據證題目標進行合情合理的放大或縮小，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。本文例談運用放縮法證題。引例：已知，求證:本例中左邊不等號顯然成立，關鍵是如何證右邊的不等式！觀察本題特征，為分式形式，聯(lián)想到，所以考慮對通項進行放縮，即由，得，由此得，即原不等式成立。對于分式，通常利用的恒等變換結論，將其每項“一分為二”成二數(shù)之差的形式,從而“裂項相消”。上述引例中，根據時，有，其結論還可加強為：
2、根據上述引例，我們再談下列例題：例1.已知函數(shù)（1）求證:當時，不等式恒成立；（2）求證:()分析:本題第(1)小題含有對數(shù)函數(shù),屬超越函數(shù)范疇,主要通過導數(shù)法證原函數(shù)單調性后,求其在確定的區(qū)間上的最值,從而證得不等式成立;而第(2)小題是不等式，欲證其成立，可通過兩邊“取對數(shù)”的方法進行化歸，其間利用第(1)題的結論,放縮法是解決問題的最佳方法.證明:(1)記,則得在上單調遞增,從而,得不等式恒成立；(2)由(1)得,所以,,,,上述不等式疊加得,即,從而,所以成立.點評:從解析過程知,本題第(2)小題通過兩次放縮,第一次是為了將分數(shù)湊成如的形式,第二次是通過求和后再放
3、縮,去掉小數(shù)部分.如放棄第一次放縮,則得,就不能通過“裂項相消法”化簡計算了.如將本題題干中的函數(shù)修改為,則仿照上述過程，可將第(2)小題的結論加強為,().例2.已知數(shù)列滿足，，求證：分析:欲證不等式中已含有形如的分式，但不完全如此！即，因此第一步考慮如何將進行適當?shù)姆趴s后化成常數(shù)，這可根據已知條件中給出的遞推公式進行。證明：由條件可知數(shù)列的各項均為正數(shù)，故由基本不等式得，若，則，這與已知條件矛盾.所以，從而，其中，因上述兩個不等式中等號不可能同時成立，故于是，，因，故，得點評：數(shù)列求和中不等關系證明的兩種方法：1.每一項轉化為兩項差，求和后消去中間項（裂項法）與放縮法
4、的結合；2.用放縮法轉化為等比數(shù)列求和。本題技巧性較強,經過了三次放縮，關鍵是放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩。第一次是利用基本不等式，將轉化為常數(shù)，在此步驟中，因兩不等式中的等號不可能同時成立，所以，兩式相乘后不取等號，這一過程是易錯之處，必須加以警示！第二次是通過裂項相消后，對進行放縮，此步容易理解；第三次是對實數(shù)進行放縮，證題目標是，故選擇即可，證題目標改為，試問將放大到什么分數(shù)？
