協(xié)方差與相關系數(shù).ppt

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1、隨機變量的協(xié)方差與相關系數(shù)開課系：環(huán)科院環(huán)境工程、經(jīng)管院物流管理徐林，數(shù)計學院3.3協(xié)方差，相關系數(shù)一.協(xié)方差定義與性質1.協(xié)方差定義(P129)若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱Cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.為X與Y的協(xié)方差,易見Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).當Cov(X,Y)=0時，稱X與Y不相關?！癤與Y獨立”和“X與Y不相關”有何關系？例2設(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2?1}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關，但不是相互獨立的。證:X與Y不相關.而故,X

2、與Y不獨立.2.協(xié)方差性質(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)證:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY)=abE(XY)-aE(X)bE(Y)=ab[E(XY)-E(X)E(Y)]=abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);證:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov

3、(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).證:由方差性質(3)的證明過程有注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)方差與協(xié)方差的定義期望、方差、協(xié)方差的性質對比不相關與獨立切比雪夫不等式期望、方差、協(xié)方差的性質對比期望方差協(xié)方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,

4、Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)當X與Y獨立時E(XY)=E(X)E(Y)EX:設隨機變量X?B（12,0.5),Y?N(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差二.相關系數(shù)1.定義若r.v.X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則稱為X與Y的相關系數(shù).注：若記稱為X的標準化，易知EX*=0，DX*=1.且2.相關系數(shù)的性質(1)

5、Corr(X,Y)

6、?1；(2)

7、Corr(X,Y)

8、=1?存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關?Corr(X,Y)=0;1

9、.設(X,Y)服從區(qū)域D:0

10、8=0所以Cov(X,Y)即Corr(X,Y)=0E(Y2)=E(X2)=3/4=E(XY)?E(X)E(Y)=0例4(X,Y)~p(x,y)=求X,Y的相關系數(shù)解:=7/6=5/3所以,Var(X)=Var(Y)=11/36=4/3二維正態(tài)分布的特征數(shù)(1)X~N(?1,?12),Y~N(?2,?22);(3)X,Y獨立?=0.(2)參數(shù)?為X和Y的相關系數(shù);(4)不相關與獨立等價.隨機向量的數(shù)學期望與協(xié)方差陣定義3.4.3記稱，則為的協(xié)方差陣，記為或定理3.4.2協(xié)方差陣對稱、非負定.協(xié)方差陣的性質稱注意點為的相關矩陣.課堂練習1設X~

11、N(0,1),Y~N(0,1),D(X?Y)=0,求(X,Y)的協(xié)差陣?.課堂練習2設X,Y的協(xié)差陣為求相關陣R.對二維隨機變量(X,Y),在給定Y取某個值的條件下,X的分布;在給定X取某個值的條件下,Y的分布.§3.5條件分布與條件期望(1)條件分布列：3.5.1條件分布(2)條件密度函數(shù)：(3)條件分布函數(shù)：3.5.2條件數(shù)學期望定義3.5.4E(X

12、Y=y)是y的函數(shù).注意點所以記g(y)=E(X

13、Y=y).進一步記g(Y)=E(X

14、Y).重期望公式定理3.5.14.4矩、協(xié)方差矩陣1.K階原點矩Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(

15、

16、X

17、k)稱為X的K階絕對原點矩；2.K階中心矩Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E

18、X-E(X)

19、k稱為X的K階絕對中心矩；3.K+l階混合原點矩E(XkYl),k,