協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)ppt課件.ppt

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1、§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差的定義二、協(xié)方差的性質(zhì)三、相關(guān)系數(shù)的定義四、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)五、矩的概念與協(xié)方差矩陣六、n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)七、小結(jié)前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)本節(jié)將要討論的協(xié)方差是反映隨機(jī)變量之間依賴關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征.在一定程度上反映了隨機(jī)變量與之間的關(guān)系.完在證明方差的性質(zhì)時(shí)，已經(jīng)知道，當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，有反之則說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，與一定不相互獨(dú)立，這說(shuō)明量一、協(xié)方差的定義定義設(shè)為二維隨

2、機(jī)向量，若存在，則稱其為隨機(jī)變量和的協(xié)方差，記為即按定義，其概率分布為則若為連續(xù)型隨機(jī)向量，其概率密度為為離型隨機(jī)向量，若利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，易將協(xié)方差的計(jì)算化簡(jiǎn).特別地，有與獨(dú)立時(shí)，當(dāng)完協(xié)方差計(jì)算的簡(jiǎn)化公式二、協(xié)方差的性質(zhì)1.協(xié)方差的基本性質(zhì)(1)(2)(3)常數(shù)；(4)(5)其中是為任意常數(shù)；(6)當(dāng)與相互獨(dú)立，則2.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地，若與相互獨(dú)立，注：①上述結(jié)果可推廣至維情形：則②若兩兩獨(dú)立，則有③可以證明：若的方差存在，則協(xié)方差一定存在且滿足下列不等式：完例1已知離散型隨機(jī)向量的

3、概率分布如右表,求解容易求得的概率分的概率分布為布為計(jì)算得于是完例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求解由的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函數(shù)分別為:從而完協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為避免隨機(jī)變量本身度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，即取并將作為與之間相互關(guān)系的一種度量，而定義設(shè)為二維隨機(jī)向量，稱為隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)，有時(shí)也記為特別地，當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān).三、相關(guān)系數(shù)的定義四、相關(guān)系數(shù)

4、的性質(zhì)性質(zhì)1.證由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知，對(duì)任意實(shí)數(shù)有令則由于方差是正的，故必有所以注意到此時(shí)易見(jiàn)結(jié)論成立.注：與相互獨(dú)立與不相關(guān).性質(zhì)2.若和相互獨(dú)立，則例1設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,（請(qǐng)課下自行驗(yàn)證）因而=0，即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即X和Y不獨(dú)立.不難求得，Cov(X,Y)=0，性質(zhì)3.若則存在常數(shù)使而且時(shí)，注：相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了和間“線性相關(guān)”的程度.的值越接近于1，與線性相關(guān)程度越高；的值越接近于0，與線性相關(guān)程度越弱；時(shí)，與有嚴(yán)格線性關(guān)系；時(shí)，與

5、無(wú)線性關(guān)系；即X和Y以概率1線性相關(guān).而且時(shí)，這里注意：只說(shuō)明與沒(méi)有線性關(guān)系.并不能說(shuō)明與之間沒(méi)有其它函數(shù)關(guān)系.與從而不能推出獨(dú)立.時(shí)，當(dāng)4.設(shè)稱其為用來(lái)近似的均方誤差，則有下列結(jié)論：若則使均方誤差達(dá)到最小.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(zhǎng)(X)=a0+b0X注：示的好壞程度，我們可用均方誤差來(lái)衡量以近似表似程度越好，且知最佳的線性近似為其余均方誤差能說(shuō)明越接近1，越小.反之，越近于0，就越大，與的線性

6、相關(guān)性越小.值越小表示與的近而從這個(gè)側(cè)面也完例3設(shè)的分布律為易知于是不相關(guān).這表示不存在線性關(guān)系,但知不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上,和具有關(guān)系:的值完全可由的值所確定.完例4設(shè)服從上的均勻分布,且判斷與是否不相關(guān),是否獨(dú)立.解由于而因此從而與不相關(guān).但由于與滿足關(guān)系:所以與不獨(dú)立.完例5已知且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及解因且所以因且所以又因故例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解根據(jù)二維正態(tài)分布的邊緣概率密度知而例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解令則有例6設(shè)二維隨機(jī)變量求相關(guān)系數(shù)解則有即有于是注:從本例的結(jié)果可見(jiàn),二維正態(tài)隨機(jī)變量的

7、分布完全由和各自的數(shù)學(xué)期望、方差以及它們的相關(guān)系數(shù)所確定.此外,易見(jiàn)有結(jié)論:若服從二維正態(tài)分布,則與相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng)與不相關(guān).五、矩的概念定義設(shè)和為隨機(jī)變量，為正整數(shù)，為階原點(diǎn)矩(簡(jiǎn)稱階矩);為階中心矩為階絕對(duì)原點(diǎn)矩；為階絕對(duì)中心矩；稱為和的階混合矩;為和的混合中心矩.注:由定義可見(jiàn)：(1)的數(shù)學(xué)期望是的一階原點(diǎn)矩；(2)的方差是的二階中心矩；(3)協(xié)方差是與的二階混合中心矩.完六、協(xié)方差矩陣將二維隨機(jī)變量的四個(gè)二階中心矩排成矩陣的形式：對(duì)稱矩陣稱此矩陣為的協(xié)方差矩陣.類似定義維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣.若都

8、存在，為的協(xié)方差矩陣.完稱六、n維正態(tài)分布的概率密度與性質(zhì)先考慮二維正態(tài)分布的概率密度，再將其推廣到維情形.二維正態(tài)隨機(jī)向量的概率密度為記協(xié)方差矩陣易驗(yàn)算易驗(yàn)算故二維正態(tài)隨機(jī)向量的概率密度可用矩陣表示為其中是的轉(zhuǎn)置.進(jìn)一步，向量，若它的概率密度為設(shè)是一個(gè)維隨機(jī)若它的概率密度為設(shè)是一個(gè)維隨機(jī)向量，則稱服從維正態(tài)分布.其中，是的協(xié)方差矩陣，是它的行列式，表示的逆矩陣，和是維列向量，而是的轉(zhuǎn)置.完維正態(tài)分布的幾條重要性