課本例題的拓展.doc

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1、充分發(fā)揮教材例題的教育功能——談教材例題的挖掘與拓展筆者經(jīng)常去本市的一些重點(diǎn)學(xué)校聽(tīng)示范課、觀(guān)摩課,發(fā)現(xiàn)一些教師在教學(xué)中并不太在喜歡使用課本中的例題,而往往是從一些教輔材料中轉(zhuǎn)引例題或者干脆使用高考題,與他們交流這是為什么,他們普遍認(rèn)為教材中的例題過(guò)于簡(jiǎn)單,對(duì)訓(xùn)練學(xué)生(特別是好學(xué)生)的數(shù)學(xué)思維并沒(méi)有多大幫助,對(duì)此,筆者并不能茍同,筆者通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐認(rèn)識(shí)到,教材中的多數(shù)例題具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性,入口淺,利于學(xué)生(特別是初學(xué)者)進(jìn)入,有助于學(xué)生雙基的夯實(shí),同時(shí),教材中的許多例題還能進(jìn)行深入的挖掘與拓展,這對(duì)于

2、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是非常有幫助的,因此,筆者認(rèn)為教師必須對(duì)教材中例題的教育價(jià)值要有充分的認(rèn)識(shí),認(rèn)真研究這些例題,從不同方面對(duì)這些例題進(jìn)行挖掘與拓展,使教材的教育功能得到最大的發(fā)揮。現(xiàn)以人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》各冊(cè)中的幾道例題為例,說(shuō)明如何對(duì)教材中的例題進(jìn)行拓展。一、方法拓展數(shù)學(xué)問(wèn)題的一題多解是常談常新的話(huà)題,對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練,可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與廣闊性,不同的方法對(duì)同一題來(lái)說(shuō)也許難簡(jiǎn)各異,但它們卻可應(yīng)用于不同的背景之下,對(duì)某題來(lái)說(shuō)較難的方法,在另一題的背景之下也許會(huì)成為通

3、法甚至是唯一方法,而且多解常常溝通了數(shù)學(xué)中多方面的知識(shí)甚至其它學(xué)科的知識(shí),這對(duì)夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)也是非常有利的。例:求證教材中的基本證法是分析法,利用分析法證明之后,可讓學(xué)生再利用綜合法及平方后作差比較的方法進(jìn)行證明,完成后,教師繼續(xù)提示學(xué)生,在有關(guān)二次根式的問(wèn)題中,除了可通過(guò)平方進(jìn)行轉(zhuǎn)化,還可怎樣轉(zhuǎn)化,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分子有理化的方法:由于,所以成立,故原不等式成立之后,教師引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察根號(hào)下各數(shù)的關(guān)系,可發(fā)現(xiàn)它們成等差數(shù)列,于是原不等式可變形成為:,由此學(xué)生又發(fā)現(xiàn)此題還可利用前一節(jié)課習(xí)題中的均值不等式(當(dāng)且

4、僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”)進(jìn)行證明。在課外興趣小組活動(dòng)中,教師承接以上方法,引導(dǎo)學(xué)生探究這種方法的數(shù)學(xué)本質(zhì),發(fā)現(xiàn)這種方法與函數(shù)的凹凸性有關(guān)(函數(shù)的凹凸性在前面已結(jié)合高一上冊(cè)教材中第二章復(fù)習(xí)參考題B組第三題在課外興趣小組向?qū)W生介紹過(guò)),因此只要證明了該函數(shù)的凹凸性,也就能夠證明原不等式成立,這樣學(xué)生又掌握了利用函數(shù)凹凸性證明不等式的方法。二、聯(lián)系拓展辯證唯物主義認(rèn)為事物是普遍聯(lián)系的,在數(shù)學(xué)中,不同的數(shù)學(xué)分支間也都具有這種聯(lián)系性,有的顯而易見(jiàn),有的則較為隱蔽,數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)功能就是要向?qū)W生揭示這種關(guān)系,這個(gè)揭

5、示關(guān)系的過(guò)程,可以使學(xué)生的知識(shí)體系得到整合,并逐漸對(duì)數(shù)學(xué)中的各種思想方法如轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想產(chǎn)生較為清晰的認(rèn)識(shí)。對(duì)數(shù)學(xué)解題方法的拓展其實(shí)也是一種聯(lián)系性的拓展,但數(shù)學(xué)教學(xué)中的聯(lián)系性拓展還不僅局限于此,它還包括對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的前后串聯(lián)、課本例題的深化引申、課后習(xí)題的整合統(tǒng)一等。例:如圖,與不共線(xiàn),(t∈R),用,表示這是平面向量的一個(gè)重要例題,例題的結(jié)論是平面向量基本定理的一種特殊形式,由例題可得:=x+y(其中x+y=1),解決例題后,教師要引導(dǎo)學(xué)生探究其逆命題:“如果與不共線(xiàn),對(duì)于點(diǎn)P滿(mǎn)足關(guān)系式=

6、x+y(其中x+y=1),那么P、A、B三點(diǎn)共線(xiàn)。”是否成立。學(xué)生通過(guò)探究,發(fā)現(xiàn)此命題是成立的。但對(duì)例題的拓展并不僅限于此,在學(xué)習(xí)空間向量時(shí),教師可以再一次向?qū)W生呈現(xiàn)這個(gè)例題,并通過(guò)類(lèi)比的方法,將此例題的結(jié)論引向空間,得到一個(gè)新的問(wèn)題:已知、、不共面,=m+n(m∈R,n∈R),試用,,表示。經(jīng)思考,學(xué)生可以得到結(jié)論:=x+y+z(其中x+y+z=1),這是空間向量基本定理的一種特殊形式,由于學(xué)生經(jīng)歷了平面向量中的探究過(guò)程,他們必然會(huì)思考這個(gè)命題的逆命題是否成立,而其逆命題恰好是教材中有關(guān)空間向量?jī)?nèi)容的

7、一道例題:“對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C,試問(wèn)滿(mǎn)足向量關(guān)系式=x+y+z(其中x+y+z=1)的四點(diǎn)P、A、B、C是否共面?”如果教師不如此引導(dǎo),學(xué)生由于遺忘等原因,是不可能將兩道例題聯(lián)系起來(lái)的,而現(xiàn)在通過(guò)教師的拓展引導(dǎo),兩道不同章節(jié)的例題在學(xué)生的知識(shí)體系中建立了聯(lián)系,這種聯(lián)系并不是形式上的聯(lián)系,而是在數(shù)學(xué)思想層面上產(chǎn)生的聯(lián)系,因?yàn)楹竺娴拿}是前面命題在空間上的類(lèi)比物,教師通過(guò)這種拓展,既對(duì)學(xué)生的知識(shí)體系進(jìn)行了整合,又讓學(xué)生經(jīng)歷了一次通過(guò)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程,從而使他們的數(shù)學(xué)思維又一次向縱深發(fā)展

8、。三、背景拓展一些例題本身具有豐富的生活背景或數(shù)學(xué)背景,如果教師能夠?qū)@樣的例題進(jìn)行深入的挖掘,必可以深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),從而提升其數(shù)學(xué)思維的深度。例:已知a,b,m都是正數(shù),并且a對(duì)于本例,我們可以利用它所具有的生活背景進(jìn)行挖掘,教學(xué)中教師先提出問(wèn)題:“糖水中加糖(在沒(méi)有達(dá)到飽和度的前提下)味道會(huì)怎樣?請(qǐng)你將這個(gè)生活現(xiàn)象提煉成一個(gè)不等式”。教師提示學(xué)生從濃度方面進(jìn)行考慮,在學(xué)生提煉出上述不等式并利用比較法證明之后,教師接

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