自主招生數學試題集錦.doc

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1、自主招生試題選講(清華、北大、交大等)2009，11清華大學、上海交通大學、中國科學技術大學、南京大學、西安交通大學五所頂尖大學自主招生上強強聯(lián)手，掀開了國內高招史上的新篇章自主招生試題特點：試題難度高于高考，有的達到競賽難度，試題靈活，毫無規(guī)律可尋，但各個學校有自己命題風格。一般說來，各高校對后續(xù)性的知識點：如，函數、不等式、排列組合等內容相對占比例稍高。應試策略：1、注重基礎：一般說來，自主招生中，基礎題目分數比例大約占60-70%2、適當拓展知識面，自主招生中，有不少內容是超出教材范圍3、對考生自己所考的院校歷屆真題爭取盡量弄到手，并進行分析。幾個熱點問題方程的根的問題：1.已知函數，且

2、沒有實數根．那么是否有實數根？并證明你的結論．（08交大）2.設，試證明對任意實數：（1）方程總有相同實根；（2）存在，恒有．（07交大）3.（06交大）設4.（05復旦）在實數范圍內求方程：的實數根．5.（05交大）的三根分別為a,b,c，并且a,b,c是不全為零的有理數，求a,b,c的值．6.解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大)凸函數問題1.(2009復旦)如果一個函數f(x)在其定義區(qū)間內對任意x，y都滿足，則稱這個函數時下凸函數，下列函數（1）（2）（3）（）7（4）中是下凸函數的有-------------------。A．(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1

3、)(4)2.（06復旦）設x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1)（tanx1+tanx2）>tan;(2)（tanx1+tanx2）sin;(4)（sinx1+sinx2）

4、給定正整數n和正常數a，對于滿足不等式的所有等差數列a1,a2,a3,…,和式的最大值=_______.（07復旦）A.;B.;C.;D..5.（07復旦）當a和b取遍所有實數時，則函數所能達到的最小值為_____________.A.1;B.2;C.3;D.4.7基礎題1.求的單調區(qū)間及極值.(2007年清華)2.設正三角形邊長為，是的中點三角形，為除去后剩下三個三角形內切圓面積之和.求.(2007年清華)3.圓內接四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，求ABCD的外接圓半徑．(北大2009)4.已知一公差為正整數無窮項等差數列，其中有3項：13，25，41．求證：200

5、9為數列中一項．（2009，北大）5.求最小正整數，使得為純虛數，并求出．(06,清華)6.已知為非負數，，求的最值．(06,清華)7.已知為等差數列，為等比數列，求的值．(06,清華)8.比較與的大小并說明理由．（04復旦）9.求證：邊長為1的正五邊形對角線長為（08北大）.10.四面體ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。（1）求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形。（2）設底面為BCD，設另外三個面與面BCD所形成的二面角為α，β，γ。求證：cosα+cosβ+cosγ=1。11.（09清華）（1）證明：（2）已知x，y，z>0，a，b，c是x，y，z的一個排列。求證：。12.

6、求所有3項的公差為8的自然數數列，滿足各項均為素數。13.求所有滿足的非直角三角形（這里表示不超過的最大整數）7(2009年南京大學自主招生試題)14.求由正整數組成的集合，使中的元素之和等于元素之積(06，清華)。15.的整數部分為A，小數部分為B。（1）求A,B；（2）求；（3）求。（09，清華）16．（09復旦）.定義全集X的子集AX的特征函數為這里，表示A在X中的補集。那么，對A，BX，下列命題中不準確的是_______________.A．AB≤，?XB．，?Xc.，?XD.+，?X17．（09復旦）.半徑為R的球內部裝4個有相同半徑r的小球，則小球半徑r的最大可能值是_______

7、________。A．B.C.D．中等題18.給出一個整系數多項式，使有一個根為（2009清華）19.．通信工程中常用n元數組表示信息，其中或1，．設，，表示和中相對應的元素不同的個數．（１）問存在多少個5元數組使得；（２）問存在多少個5元數組使得；（３）令，，，求證：．（08交大）720．證明：若f（f（x））有唯一不動點，f（x）也有唯一不動點（09交大）21.已知，△ABC是正三角形，且B、