同濟(jì)六版高數(shù)下教案.doc

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1、第十章重積分【教學(xué)目標(biāo)與要求】1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。3.掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。4.會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1.二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；2.三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】1.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分；3.物理應(yīng)用中的引力問題?！?0.1二重積分的

2、概念與性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：二重積分的概念及性質(zhì)重點(diǎn)難點(diǎn)：二重積分的概念及性質(zhì)一、引例1.曲頂柱體的體積V設(shè)有一立體,它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D,其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面,其頂是曲面z=f(x,y)非負(fù)連續(xù).稱為曲頂柱體.若立體的頂是平行于xoy面的平面。體積=底面積高現(xiàn)在我們來(lái)討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積.（i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：Ds1,Ds2,×××,Dsn.分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于z軸的柱面,這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體.（ii）代替：在每個(gè)Dsi中任取一點(diǎn)(xi,hi),以f(xi,hi)

3、為高而底為Dsi的平頂柱體的體積為f(xi,hi)Dsi(i=1,2,×××,n).（iii）近似和：整個(gè)曲頂柱體體積V.分割得越細(xì),則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得"無(wú)限細(xì)",則右端近似值會(huì)無(wú)限接近于精確值V.（iv）取極限：其中的直徑是指中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離。則.其中2.平面薄片的質(zhì)量.當(dāng)平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時(shí),質(zhì)量=面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時(shí),薄板的質(zhì)量不能用上述公式算,應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M?設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為,這里非負(fù)連續(xù).現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.（i）

4、分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：Ds1,Ds2,×××,Dsn.（ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量:m(xi,hi)Dsi.（iii）近似和：各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值:.將分割加細(xì),取極限,得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限：則.兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同：“分割,代替,近似和,取極限”(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:二、二重積分的定義及可積性定義：設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域Ds1,Ds2,×××,Dsn.其中Dsi表示第i個(gè)小區(qū)

5、域,也表示它的面積.在每個(gè)Dsi上任取一點(diǎn)(xi,hi),作和.如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí),這和的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,記作,即.f(x,y)被積函數(shù),f(x,y)ds被積表達(dá)式,ds面積元素,x,y積分變量,D積分區(qū)域,積分和.直角坐標(biāo)系中的面積元素:如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D,那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設(shè)矩形閉區(qū)域Dsi的邊長(zhǎng)為Dxi和Dyi,則Dsi=DxiDyi,因此在直角坐標(biāo)系中,有時(shí)也把面積元素ds記作dxdy,而把二重積

6、分記作其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素.二重積分的幾何意義:如果f(x,y)30,被積函數(shù)f(x,y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x,y)處的豎坐標(biāo),所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積.如果f(x,y)是負(fù)的,柱體就在xOy面的下方,二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積,但二重積分的值是負(fù)的.說(shuō)明：當(dāng)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí),則f(x,y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x,y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計(jì)算：，其中。三.二重積分的性質(zhì)設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存

7、在。性質(zhì)1.性質(zhì)2設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3，其中(為D的面積).性質(zhì)4設(shè)，且無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則.性質(zhì)5.若在D上,f(x,y)￡g(x,y),則.特殊：（1）若在D上，則（2）.這是因?yàn)樾再|(zhì)6設(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,為D的面積,則.性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),s為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)，使.例2.比較下列積分的大?。?，，其中小結(jié)1.二重積分的定義：，2.二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似）教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義

8、、性質(zhì)進(jìn)行比較，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。作業(yè)P137:4（1）（3），5（1）（4）§10.2二