高斯公式_通量及散度.ppt

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1、第六節(jié)Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件三、通量與散度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束高斯公式通量與散度第十章一、高斯(Gauss)公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域?由分片光滑的閉曲?上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面?所圍成,?的方向取外側(cè),則有(Gauss公式)高斯目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明:設(shè)為XY型區(qū)域,則定理1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束所以若?不是XY–型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：定理1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.用Gauss公式計(jì)

2、算其中?為柱面閉域?的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解:這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標(biāo))及平面z=0,z=3所圍空間思考:若?改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若?為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.利用Gauss公式計(jì)算積分其中?為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分的下側(cè).所圍區(qū)域?yàn)?,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用重心公式,注意機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.設(shè)?為曲面取上側(cè),求解:作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在閉區(qū)域?上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證明格林(Green)第一公式例4.設(shè)函數(shù)其中?是整個(gè)?邊界面的外側(cè).分析:高斯公

3、式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:令由高斯公式得移項(xiàng)即得所證公式.(見P171)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區(qū)域的類型設(shè)有空間區(qū)域G,若G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G為空間二維單連通域;若G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于G的曲面,則稱G為空間一維單連通域.例如,球面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域不是二維單連通區(qū)域.既是一維也是二維單連通區(qū)域;是二維但不是一維單連通區(qū)域;是一維但機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.閉曲面積分為零的充要條件定理2.在空間二維單連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),?為G內(nèi)任一閉曲面,則①證:“充分性”.根據(jù)

4、高斯公式可知②是①的充分條件.的充要條件是:②“必要性”.用反證法.已知①成立,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因P,Q,R在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則存則由高斯公式得與①矛盾,故假設(shè)不真.因此條件②是必要的.取外側(cè),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在鄰域三、通量與散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場(chǎng)理意義可知,設(shè)?為場(chǎng)中任一有向曲面,單位時(shí)間通過曲面?的流量為則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為若?為方向向外的閉曲面,當(dāng)?>0時(shí),說明流入?的流體質(zhì)量少于當(dāng)?<0時(shí),說明流入?的流體質(zhì)量多于則單位時(shí)間通過?的流量為當(dāng)?=0時(shí),說明流入與流出

5、?的流體質(zhì)量相等.流出的,表明?內(nèi)有泉;流出的,表明?內(nèi)有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束③方向向外的任一閉曲面,記?所圍域?yàn)?,設(shè)?是包含點(diǎn)M且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M處的特性,在③式兩邊同除以?的體積V,并令?以任意方式縮小至點(diǎn)M則有此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M的特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義:設(shè)有向量場(chǎng)其中P,Q,R具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),?是場(chǎng)內(nèi)的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場(chǎng)A通過有向曲面?的通量(流量).在場(chǎng)中點(diǎn)M(x,y,z)處稱為向量場(chǎng)A在點(diǎn)M的散度.記作divergence機(jī)動(dòng)目錄上

6、頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無源,散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場(chǎng)A處處有,則稱A為無源場(chǎng).例如,勻速場(chǎng)故它是無源場(chǎng).P16目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說明:由引例可知,散度是通量對(duì)體積的變化率,且*例5.置于原點(diǎn),電量為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為解:計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.通量與散度設(shè)向量場(chǎng)P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場(chǎng)通過有向曲面?的通量為G內(nèi)任意點(diǎn)處的

7、散度為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)?為?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P1741(2),(4),(5);2(2);3;4第七節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題設(shè)?是一光滑閉曲面,所圍立體?的體積?是?外法線向量與點(diǎn)(x,y,z)的向徑試證證:設(shè)?的單位外法向量為則的夾角,為V,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束高斯(1777–1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列