第六節(jié)高斯公式通量與散度.doc

《第六節(jié)高斯公式通量與散度.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、第六節(jié)高斯公式通量與散度格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與該區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分之間的關系.本節(jié)要介紹的高斯公式則揭示了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.可以認為高斯公式是格林公式在三維空間中的推廣.分布圖示★高斯公式★例1★例2★例3★沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件★通量與散度★例4★內(nèi)容小結★課堂練習★習題10-6★返回內(nèi)容要點一、高斯公式定理1設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，函數(shù)、、在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有公式(6.1)這里是的整個邊界曲面的外側,是上點

2、處的法向量的方向余弦.(6.1)式稱為高斯公式.若曲面與平行于坐標軸的直線的交點多余兩個，可用光滑曲面將有界閉區(qū)域分割成若干個小區(qū)域，使得圍成每個小區(qū)域的閉曲面滿足定理的條件，從而高斯公式仍是成立的.此外，根據(jù)兩類曲面積分之間的關系，高斯公式也可表為二、通量與散度一般地，設有向量場,其中函數(shù)、、有一階連續(xù)偏導數(shù)，是場內(nèi)的一片有向曲面，是曲面的單位法向量.則沿曲面的第二類曲面積分稱為向量場通過曲面流向指定側的通量.而稱為向量場的散度，記為，即.(6.4)例題選講利用高斯公式計算例1(E01)計算曲面積分

3、其中為柱面及平面所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側（圖10-6-1）.解利用高斯公式，得原式=（利用柱面坐標）例2計算其中為旋轉拋物面在部分的外側.解作輔助平面則平面與曲面圍成空間有界閉區(qū)域由高斯公式得例3(E02)計算其中為錐面,為此曲面外法線向量的方向余弦.解補充平面取的上側，則構成封閉曲面(見圖10-6-2)，設其所圍成空間區(qū)域為于是而故通量與散度例4(E03)求向量場的流量(1)穿過圓錐的底(向上);(2)穿過此圓錐的側表面（向外）.解如圖10-6-3，設及分別為此圓錐的面，側面及全表面，

4、則穿過全表面向外的流量(1)穿過底面向上的流量(2)穿過側表面向外的流量課堂練習1.利用高斯公式計算其中為球面的外側.2.求向量場的散度.