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《計(jì)算方法-3線性方程組數(shù)值解法.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2學(xué)習(xí)要點(diǎn)消去法：包括高斯順序消去法和列主元高斯消去法；三對角方程組的追趕法；各種向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的概念；解線性方程組的迭代法：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；迭代法的收斂性判斷；33.1問題的提出在自然科學(xué)和工程技術(shù)中很多問題的解決常常歸結(jié)為解線性代數(shù)方程組。例如:建筑工程中的結(jié)構(gòu)力學(xué)問題;用最小二乘法求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合問題;用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程邊值問題等都導(dǎo)致求解線性方程組而且后面幾種情況常常歸結(jié)為求解大型線性方程組。4線性代數(shù)方面的計(jì)算方法就是研究求解線性方程組的一些數(shù)值解法與研究
2、計(jì)算矩陣的特征值及特征向量的數(shù)值方法。5式中，aij，bi為已知常數(shù)，xi為待求的未知量。記設(shè)有線性方程組6則式（3.1）可寫出矩陣形式Ax=b也可以把式（3.1）寫成增廣矩陣形式7關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：直接法：經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組的精確解的方法（若在計(jì)算過程中沒有舍入誤差）迭代法：用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法，迭代法具有占存儲(chǔ)單元少，程序設(shè)計(jì)簡單，原始系數(shù)矩陣在迭代過程中不變等優(yōu)點(diǎn)，但存在收斂性及收斂速度等問題83.2消去法一上三角方程組的解法設(shè)9寫出矩陣形式為：Ux=y其中U稱為上三角矩
3、陣10若uii≠0（i=1,2,……n）,則由下至上依次回代得11二高斯消去法其中aij(1)=aij,ai,n+1(1)=bi1≤i,j≤n1、第1步消元。設(shè)a11(1)≠0,將的第一行乘以-li1(li1=ai1(1)/a11(1))，加到i行記原線性方程組為12其中aij(2)=aij(1)-li1a1j(1)，2≤i≤n；2≤j≤n+1得到同解方程組13從運(yùn)算過程來看，上面相當(dāng)于用矩陣左乘即14若已經(jīng)進(jìn)行了k-1步次消元，同解方程組為：15其中，aij(k+1)=aij(k)-likakj(k)，k+1≤i≤n；k+1≤j≥n
4、+1第k步消元：16即第k步消元，也相當(dāng)于用矩陣左乘17一直作到n-1步，得到同解方程組記則線性方程組為：Ux=y18例1用高斯消去法解線性方程組19解：20因此得到與原方程同解的三角方程組為通過回代，可以得到解為：X3=-3,x2=2,x1=121三列主元高斯消去法≠0（k=1,2,……n-1）;若很小，也不適用；高斯消去法的問題：列主元消去法：與高斯消去法相似；防止舍入誤差的增長；選列主元，進(jìn)行行交換。22具體過程：設(shè)k-1步消元得到：23在進(jìn)行第k步消元前，選出第k列中位于對角線及其以下元素絕對值中的最大值者，即確定t使得將第t
5、行和第k行互相交換；再按高斯消去法進(jìn)行第k步消元；若系數(shù)矩陣為對稱正定或嚴(yán)格對角占優(yōu)的方程組，不必選主元24例2用列主元高斯消去法解線性方程組253.3追趕法其系數(shù)矩陣為三對角形，元素滿足以下條件：
6、b1
7、>
8、c1
9、>0
10、bi
11、≥
12、ai
13、+
14、ci
15、，且aici≠0i=2，3，……n-1;
16、bn
17、≥
18、an
19、>0。可以采用追趕法求解26消元過程:追趕273.4向量范數(shù)和矩陣范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性，我們需要對Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量——向量和矩陣的范數(shù)。28向量范數(shù)對
20、空間直角坐標(biāo)系任意向量其長度為：29它滿足如下3個(gè)條件對任意x屬于R3，
21、x
22、≥0，
23、x
24、=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0;對任意常數(shù)c屬于R和任意x屬于R3，有
25、cx
26、=
27、c
28、·
29、x
30、;對任意x屬于R3，y屬于R3，有
31、x+y
32、≤
33、x
34、+
35、y
36、;這三個(gè)條件分別稱為向量長度的非負(fù)性、齊次性和三角不等式，推廣此概念即可得到向量范數(shù)30定義設(shè)f(x)=
37、
38、x
39、
40、是定義在Rn上的實(shí)函數(shù)，如果它滿足如下條件：1對對任意x屬于Rn，
41、
42、x
43、
44、≥0，
45、
46、x
47、
48、=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0;2對任意實(shí)常數(shù)c和任意x屬于Rn，有
49、
50、cx
51、
52、=
53、c
54、·
55、
56、x
57、
58、;3對任意x屬
59、于Rn，y屬于Rn，有
60、
61、x+y
62、
63、≤
64、
65、x
66、
67、+
68、
69、y
70、
71、;則稱
72、
73、·
74、
75、為Rn上的向量范數(shù)31最常用的是三種范數(shù)：向量的1-范數(shù)：向量的2-范數(shù)：向量的∞-范數(shù)：示例(-5，-3，4)T的三種范數(shù)分別為：32定義設(shè)向量x,y屬于Rn上，則稱
76、
77、x-y
78、
79、為x和y之間的距離三種范數(shù)之間的關(guān)系33矩陣范數(shù)定義:設(shè)A屬于Rn×n，
80、
81、·
82、
83、是Rn上的任一向量范數(shù)，稱為A的矩陣范數(shù)，記作Rn×n表示所有n×n階矩陣組成的實(shí)線性空間。34最常用的三種矩陣范數(shù)：35矩陣范數(shù)的五個(gè)性質(zhì)：36定理:設(shè)A∈R，
84、
85、·
86、
87、為一種矩陣范數(shù)，則ρ(A)≤
88、
89、
90、A
91、
92、證明：設(shè)λ為A的按模最大的特征值，x為相對應(yīng)的特征向量，則37例5設(shè)A=383.5迭代法迭代法及其收斂性思路：與方程求根的迭代法思想類似，對于線性方程組：39通過變形，找到同解方程組：x=Bx+f建立迭代公式x
