食餌—捕食者模型.doc

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1、《數(shù)學(xué)模型》課程食餌—捕食者模型3.討論具有自身阻滯作用的兩種群食餌-捕食者模型，首先根據(jù)該兩種群的相互關(guān)系建立模型，解釋參數(shù)的意義，然后進(jìn)行穩(wěn)定性分析，解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義，對(duì)模型進(jìn)行相軌線分析來(lái)驗(yàn)證理論分析的正確性，并用matlab軟件畫(huà)出圖形。自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有相互依存、又有相互制約的生活方式：種群甲靠豐富的天然資源生長(zhǎng)，而種群乙靠捕食甲為生，形成魚(yú)和鯊魚(yú)，美洲兔和山貓，落葉松和蚜蟲(chóng)等等都是這種生存方式的典型，生態(tài)學(xué)稱(chēng)種群甲為食餌，種群乙為捕食者。二者共同組成食

2、餌—捕食者系統(tǒng)。一食餌—捕食者選用食餌(食用魚(yú))和捕食者(鯊魚(yú))為研究對(duì)象,設(shè)/為食餌(食用魚(yú))在時(shí)刻的數(shù)量，/為捕食者(鯊魚(yú))在時(shí)刻的數(shù)量，為食餌(食用魚(yú))的相對(duì)增長(zhǎng)率，為捕食者(鯊魚(yú))的相對(duì)增長(zhǎng)率；為大海中能容納的食餌(食用魚(yú))的最大容量，為大海中能容納的捕食者(鯊魚(yú))的最大容量，為單位數(shù)量捕食者（相對(duì)于）提供的供養(yǎng)食餌的實(shí)物量為單位數(shù)量捕食者(相對(duì)于)消耗的供養(yǎng)甲實(shí)物量的倍；為單位數(shù)量食餌（相對(duì)于）提供的供養(yǎng)捕食者的實(shí)物量為單位數(shù)量捕食者(相對(duì)于)消耗的供養(yǎng)食餌實(shí)物量的倍；為捕食者離開(kāi)食餌獨(dú)立

3、生存時(shí)的死亡率二模型假設(shè)1.假設(shè)捕食者（鯊魚(yú)）離開(kāi)食餌無(wú)法生存；2.假設(shè)大海中資源豐富，食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)；三模型建立食餌(食用魚(yú))獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，且食餌(食用魚(yú))的相對(duì)增長(zhǎng)率為，即，而捕食者的存在使食餌的增長(zhǎng)率減小，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是滿(mǎn)足方程(1)比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力。由于捕食者離開(kāi)食餌無(wú)法生存，且它獨(dú)立生存時(shí)死亡率為，即，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長(zhǎng)。設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是滿(mǎn)足(2)比例系數(shù)反

4、映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。方程(1)、(2)是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里沒(méi)有考慮種群自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型。結(jié)果如下。不考慮自身阻滯作用:數(shù)值解令x(0)=x0,y(0)=0,設(shè)r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2使用Matlab求解求解如下1）先建立M文件functionxdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).

5、*x(2)];2)在命令窗口輸入如下命令：ts=0:0.1:15;>>x0=[25,2];>>[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],>>ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],ans=省略>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>>>>pause>>plot(x(:,1),x(:,2)),grid,（可以猜測(cè)，x(t),y(t)是周期函數(shù),與此相應(yīng)地相軌

6、線y(x)封閉曲線，從數(shù)值解近似定出周期為10.7，x的最大最小值分別為99.3，2.0，y的最大，最小值分別為28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一個(gè)周期的平均值為25，10.）考慮阻滯作用前面我們沒(méi)有考慮種群自身的阻滯作用，接下來(lái)我們考慮種群自身的阻滯作用，在上面（1），（2）兩式中加入Logistic項(xiàng)，即建立以下數(shù)學(xué)模型：(3)(4)四平衡點(diǎn)進(jìn)行理論分析下面對(duì)（3）（4）進(jìn)行平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析：由微分方程(3)、(4)令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0得到如下平衡點(diǎn):,,因

7、為僅當(dāng)平衡點(diǎn)位于平面坐標(biāo)系的第一象限時(shí)()才有意義，所以，對(duì)而言要求>0。按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計(jì)算：根據(jù)等于主對(duì)角線元素之和的相反數(shù)，而為其行列式的值，我們得到下表：平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件<1>1不穩(wěn)定五模型分析與檢驗(yàn)1.平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析及其實(shí)際意義：1)對(duì)而言，有=，=，故當(dāng)<1時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則種群乙滅絕，沒(méi)有種群的共存。2)對(duì)而言，有=，=，故當(dāng)>1時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則兩物種恒穩(wěn)發(fā)展，會(huì)互相依存生長(zhǎng)下去。3)對(duì)而言，由于，，又有題知>0,>0,故<0,即是

8、不穩(wěn)定的。六用MATLAB求解驗(yàn)證下面將進(jìn)行MATLAB軟件求解此微分方程組中的、的圖形及相軌線圖形。設(shè)，，，，,,使用MATLAB軟件求1)建立M文件functiony=fun(t,x)y=[x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3000-x(2)./400)];2)在命令窗口輸入如下命令：ts=0:0.1:20ts=省略>>x0=[300060]x0=300060>>[t,x]=ode45