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1、常微分方程第二章初等積分法(4)主講人：富明慧教授stsfmh@mail.sysu.edu.cn一已知曲線族的等角軌線族§2.6應(yīng)用舉例求曲線族：使中任意一條曲線與的所有曲線的夾角為恒定值。，稱這樣的曲線族（2）為已知曲線族（1）的等角軌線族。1、基本概念已知曲線族：當時，稱曲線族（2）為（1）的正交軌線族，，2已知曲線族的微分方程消去上式中的C，既得相應(yīng)微分方程：由再利用其中是由決定的函數(shù)（4）方程（4）在點的線素斜率記為，而把與它相交成角的線素斜率記為。當時，有從而等角軌線的微分方程為3等角軌線族的微分方程由三角公式：得：當時，有，即所求正交
2、軌線的微分方程為（6）注意，在方程（4），（5）與（6）中的函數(shù)是相同的。（5）求解微分方程（5）（或（6）），就可以得到（1）的等角軌線族（或正交軌線族）（2）。需要注意的是，在推導(dǎo)方程（4）時，。這樣，由可以決定y是x的單值函數(shù)。而則可決定x是y的函數(shù)。然后進行類似推導(dǎo)。若將微分方程(4),(5)和(6)改變?yōu)閷ΨQ形式，就不必區(qū)分上述兩種情形。應(yīng)有等角軌線族不僅在數(shù)學本身有用（例如當它們可以取為坐標系），而且在某些物理與力學問題中也有用，例如靜電場中的電力線與等勢線就是互相正交的曲線族。作為一個例子，設(shè)電力線族的方程為（K為參數(shù)），這是一個拋
3、物線族時，從聯(lián)立方程,（7）中消去，得到一個對稱形式的微分方程。因此，與之正交的曲線族的微分方程為，它的通積分為。這就是所求的等勢線族（同心橢圓族）。二人口增長模型用表示某地區(qū)在時間的人口總數(shù)記為人口增長率（出生率與死亡率之差）。由于在時間內(nèi)的平均增長率為，其中為人口的增量，所以即（8）這就是人口總數(shù)N所滿足的微分方程。馬爾薩斯人口模型：假設(shè)r為常數(shù)初值問題（9）的解為（10）人口是按指數(shù)曲線增長的，顯然不符合實際。修正模型：（11）假設(shè)其中正數(shù)a和b稱為生命系數(shù)。一些生態(tài)學家測得a的自值為0.029，而b的值則取決于各地區(qū)社會經(jīng)濟條件。方程（8
4、）修正為（12）這是一個變量分離的方程。初值問題：（13）的解為（14）美國和法國曾用這個公式預(yù)報過人口的變化，結(jié)果與實際十分吻合；而比利時則不甚符合，原因是當時比利時向剛果進行著大量移民。至于我國，見書里P57，即?。?979，=9.7092乘，r0=0.0145,則由（11）式可得利用公式（14）可以對我國大陸地區(qū)的人口總數(shù)作出估算。（15）分離變量并積分得方程的通解為由初始條件得代入得雪球的體積隨時間的變化關(guān)系為食餌（甲）數(shù)量y(t),捕食者（乙）數(shù)量x(t)甲獨立生存的增長率乙使甲的增長率減小，減小量與x成正比乙獨立生存的死亡率甲使乙的死
5、亡率減小，減小量與y成正比食餌-捕食者模型(Volterra)~捕食者掠取食餌能力~食餌供養(yǎng)捕食者能力作業(yè)P62習題2-61(2),2(4),3,5
