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1、對(duì)一道初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的變式探究755006寧夏回族自治區(qū)屮衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校教研室張寧1試題回放題1如圖1,點(diǎn)A,C都在函數(shù)y=^(x>0)的圖象上，點(diǎn)B,D都在x軸上，且使得△OAB,厶〃。。都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為這是“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2007年全國初屮數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題屮的一道填空題，題H構(gòu)思巧妙，圖形簡潔明了，它以學(xué)生熟悉的反比例函數(shù)圖象和正三角形為背景，主要考查綜合運(yùn)用反比例函數(shù)和正三角形的性質(zhì)解決問題的能力，是一道優(yōu)秀的競(jìng)賽試題.解如圖1，分別過點(diǎn)4,C作x軸的垂線，垂足分別為E,F.設(shè)OE=a,BF=b,則AE=V3a,CF=V3b,所以點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(d,V3
2、a),(2d+4),所以解得=￡廠因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2^6,0).V3b(2a+b)=373,b=76-V3,圖22試題的拓展題2如圖2所示，Pj(xpyi)、P2(X2,y2)，,P?(xn,yn)在函數(shù)y二壬3(x>0)的圖象上，△OP/A/,△P2A/A2,△P5A2A3,……,APtlAn-iAn都是等邊三角形，且邊OA,,A/A2……An./An,都在x軸上，貝I」血的坐標(biāo)解：分別過片，P?,……，化作x軸的垂線，垂足分別為B“由已知,Pi(xi，yi)>P2(X2,y2)，，Pn(x”yn)在函數(shù)(x>0)的圖象上,且今0目=ZP2A}B2=???=分AtB”=60°.由)'i
3、=■及tanZP、0B==—=V3知，X]=a/3.故A}(2a/3~,0).%!OB}x}由)'1=—及tanZ.P2A}B2=——-=尸=巧知，x2=V3+V6?故A2(2^6,0).兀24&2一2Q3OPR、，由y3=及tan=——=亍=V3知，x3=V6+3?故A3(60)?由兒￥及心"兀3人2“3X、—2]6?「：?=V3矢口,x=a/3(/2—1)+a/3/7.兀-2如-1)故A”(2藥,0)?3試題的變式探究O如果將題2中的反比例函數(shù)y=?(x>0)變?yōu)閥二-(x>0),將等邊△OPiAi，AP2A/A2,XX題3(2009年湖北省黃石市)如圖3所示,P,(X],y】)、P
4、2(x2,y2),Pn(Xn‘y(i)△P3A2A3,……，變?yōu)榈妊苯侨切危覀兙偷玫饺缦骂}3.9在函數(shù)y二—(X>0)的圖象上，△OPA,△P2A]A2,XAP3A2A3,……,APnAn-iAn都是等腰直角三角形,斜邊OAi，A,A2,……,An.IAn，都在x軸上,則)'l+『2+???+)'”=.解：分別過片，P"……,代作X軸的垂線，垂足分別為B2,……,B”.貝IJP2B2P"Bn=~An-An-于是，兒+兒+???+兒=￡(°州+a1a2+-+a,j_1aj=oa/j.9由已知,Pi(xi，yi)、P2(X2,y2)，，Pn(xn，yn)在函數(shù)y=-(x>0)的圖象上,X
5、且ZP}OBx=ZP2AxB2=-=APHAn_}Bn=45°.9由V]=—及tanZPQB、PBOB、=—=1^0?由Vo=一及tanZP^A}B0=PbAmA/2=—^=1矢口,x2-6x2=3+3V2.故OA2=6V2".故=6>/3?由『3=2及tanZP3A2B,—f=''-=1矢口，x3=3^2+3^/3兀3人2“3X3-6。2由);=—及tanZ代“=-^—'-==1知，￡=3yln-+37h.故0人=曲?兀4-ix“-6M-1故兒+>2十…+兒=OAn—x6a/h=3眉.2如果將題1屮的函數(shù)y=^（X>0）變?yōu)閥=L（x>0）,將等邊三角形變成正方形，我xx們就得到如
6、下題4.題4（2009年蘭州市）如圖4,若正方形04比的頂點(diǎn)〃和正方形血肪的頂點(diǎn)F都在函數(shù)y=-（X>0）的圖象上，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是（,）.解：設(shè)OA=a,AD=b,則=D￡=b,所以點(diǎn)B,E的坐標(biāo)分別為（a,a）,（a+b,圖4b）?由于點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=-（x>0）的圖象上，所以Xa=I,b(a+b)=1,解得LV5-1b=因此，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（即,即）.2如果將題2中的反比例函數(shù)尸呼（x>0）變?yōu)?次函數(shù)—豐十（x>0）,并且已知△"⑷的邊長為2,我們就得到如下題5.a)’圖5題5（2009年泰安市屮考題改編）如圖5,Pi（xi，yi）、B（X2,y2），，Pn（xn,yQ在函數(shù)y=
7、——x+m（x>0）的圖象上，AOP/A/,AP2A7A2,△/Wh，……，AP^-jAn都是等邊三角形，且邊OA/,A/A2,……A皿,都在X軸上，AOP/A/的邊長為2,求△P/”-幾的邊長.PR=OP,sin60°=羽,OB、=op'cos60°=2xr故點(diǎn)片(1,V3).將人（1,希）代入直線）一豐十，得一傘1+心巧，解得,w半.于是直線的表達(dá)式為y=-—a-4-^.33設(shè)直線y=-—x+^-與坐標(biāo)軸
