應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析課后習(xí)題答案詳解ppt課件.ppt

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1、應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析第三章習(xí)題解答1第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)3-1設(shè)X～Nn(μ,σ2In),A為對(duì)稱冪等陣,且rk(A)=r(r≤n),證明證明因A為對(duì)稱冪等陣，而對(duì)稱冪等陣的特征值非0即1,且只有r個(gè)非0特征值，即存在正交陣Γ(其列向量ri為相應(yīng)特征向量)，使2第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)3其中非中心參數(shù)為第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)43-2設(shè)X～Nn(μ,σ2In),A，B為n階對(duì)稱陣.若AB＝0,證明X′AX與X′BX相互獨(dú)立.證明的思路：記rk(A)=r.因A為n階對(duì)稱陣,存在正交陣Γ,使得?！?/p>

2、AΓ=diag(λ1,…,λr0,..,0)令Y＝?！鋁，則Y～Nn(?！洇?σ2In),第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)且5又因?yàn)閄′BX=Y′?！銪ΓY=Y′HY其中H=?！銪Γ。如果能夠證明X′BX可表示為Yr+1，…,Yn的函數(shù)，即H只是右下子塊為非0的矩陣。則X′AX與X′BX相互獨(dú)立。第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)6證明記rk(A)=r.若r=n,由AB＝O,知B＝On×n,于是X′AX與X′BX獨(dú)立；若r=0時(shí),則A＝0,則兩個(gè)二次型也是獨(dú)立的.以下設(shè)0＜r＜n.因A為n階對(duì)稱陣,存在正交陣Γ,使得第三章多元

3、正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)7其中λi≠0為A的特征值(i=1,…,r).于是令r第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)由AB＝O可得DrH11＝O，DrH12＝O.因Dr為滿秩陣,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r).由于H為對(duì)稱陣，所以H21＝O(n-r)×r.于是8由于Y1，…,Yr,Yr+1,…,Yn相互獨(dú)立，故X′AX與X′BX相互獨(dú)立.第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)令Y＝Γ′X，則Y～Nn(?！洇?σ2In),且9設(shè)X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B為p階對(duì)稱陣,試證明(X-μ)′A(X-μ)與(X-μ)′B(X-μ)相

4、互獨(dú)立?ΣAΣBΣ＝0p×p.第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)3-310由“1.結(jié)論6”知ξ與η相互獨(dú)立?第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)11性質(zhì)4分塊Wishart矩陣的分布:設(shè)X(α)～Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互獨(dú)立，其中又已知隨機(jī)矩陣則第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)試證明Wishart分布的性質(zhì)(4)和T2分布的性質(zhì)(5).3-412第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)證明:設(shè)記,則即13第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)當(dāng)Σ12=O時(shí),對(duì)α＝1,2,…,n,相互獨(dú)立.故有W11與W22相互獨(dú)立.由定義3.1.4可知14

5、性質(zhì)5在非退化的線性變換下,T2統(tǒng)計(jì)量保持不變.證明:設(shè)X(α)(α＝1,…,n)是來自p元總體Np(μ,Σ)的隨機(jī)樣本,X和Ax分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和離差陣,則由性質(zhì)1有第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)令其中C是p?p非退化常數(shù)矩陣，d是p?1常向量。則15第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)所以16第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)3-5對(duì)單個(gè)p維正態(tài)總體Np(μ,Σ)均值向量的檢驗(yàn)問題，試用似然比原理導(dǎo)出檢驗(yàn)H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比統(tǒng)計(jì)量及分布.解:總體X～Np(μ,Σ0)(Σ0＞0),設(shè)X(α)(α=

6、1,…,n)(n＞p)為來自p維正態(tài)總體X的樣本.似然比統(tǒng)計(jì)量為P66當(dāng)Σ=Σ0已知μ的檢驗(yàn)17第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)18第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)19第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)因所以由§3“一﹑2.的結(jié)論1”可知20第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)3-6(均值向量各分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn))設(shè)總體X～Np(μ,Σ)(Σ＞0),X(α)(α＝1,…,n)(n＞p)為來自p維正態(tài)總體X的樣本，記μ＝(μ1,…,μp)′.C為k×p常數(shù)(k

7、及分布.解：令則Y(α)(α＝1,…,n)為來自k維正態(tài)總體Y的樣本，且21第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)檢驗(yàn)這是單個(gè)k維正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)問題.利用§3.2當(dāng)Σy=CΣC′未知時(shí)均值向量的檢驗(yàn)給出的結(jié)論,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:22第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)3-7設(shè)總體X～Np(μ，Σ)(Σ＞0),X(α)(α＝1,…,n)(n＞p)為來自p維正態(tài)總體X的樣本，樣本均值為X，樣本離差陣為A.記μ＝(μ1,…,μp)′.為檢驗(yàn)H0:μ1=μ2=…=μp,H1:μ1,μ2,…,μp至少有一對(duì)不相等.令則上面的假設(shè)等價(jià)于H

8、0：Cμ=0p-1,H1：Cμ≠0p-1試求檢驗(yàn)H0的似然比統(tǒng)計(jì)量和分布.解：至少有一對(duì)不相等.23第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)利用3-6的結(jié)果知，檢驗(yàn)H0的似然比統(tǒng)計(jì)量及分布為：其中(注意:3-6中的k在這里為p-1)24第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)3-8假定人體尺寸有這樣的一般規(guī)律:身高(X1),胸圍(X2)和