應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析ppt課件.ppt

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1、應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)1在多元統(tǒng)計(jì)分析中,多元正態(tài)分布占有相當(dāng)重要的地位.這是因?yàn)樵S多實(shí)際問題涉及到的隨機(jī)向量服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布;當(dāng)樣本量很大時(shí),許多統(tǒng)計(jì)量的極限分布往往和正態(tài)分布有關(guān);此外,對(duì)多元正態(tài)分布,理論與實(shí)踐都比較成熟,已有一整套行之有效的統(tǒng)計(jì)推斷方法.基于這些理由,我們?cè)诮榻B多元統(tǒng)計(jì)分析的種種具體方法之前，首先介紹多元正態(tài)分布的定義、性質(zhì)及多元正態(tài)分布中參數(shù)的估計(jì)問題.第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)2第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)目錄§2.1隨機(jī)向量§2.2多元正態(tài)分布的

2、定義與基本性質(zhì)§2.3條件分布和獨(dú)立性§2.4隨機(jī)矩陣的正態(tài)分布§2.5多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)3本課程所討論的是多變量總體.把p個(gè)隨機(jī)變量放在一起得X=(X1,X2,…,Xp)′為一個(gè)p維隨機(jī)向量,如果同時(shí)對(duì)p維總體進(jìn)行一次觀測,得一個(gè)樣品為p維數(shù)據(jù).常把n個(gè)樣品排成一個(gè)n×p矩陣,稱為樣本資料陣.第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.1隨機(jī)向量4第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.1隨機(jī)向量其中X(i)(i=1,…,n)是來自p維總體的一個(gè)樣品.=(X1,X2,…,Xp)def5在多元統(tǒng)計(jì)分析中涉及到的都是隨

3、機(jī)向量,或是多個(gè)隨機(jī)向量放在一起組成的隨機(jī)矩陣.本節(jié)有關(guān)隨機(jī)向量的一些概念(聯(lián)合分布,邊緣分布,條件分布,獨(dú)立性;X的均值向量,X的協(xié)差陣和相關(guān)陣,X與Y的協(xié)差陣)要求大家自已復(fù)習(xí).三﹑均值向量和協(xié)方差陣的性質(zhì)(1)設(shè)X,Y為隨機(jī)向量,A,B為常數(shù)陣,則E(AX)=A·E(X)E(AXB)=A·E(X)·B第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.1隨機(jī)向量6D(AX)=A·D(X)·A'COV(AX,BY)=A·COV(X,Y)·B'(2)若X,Y相互獨(dú)立,則COV(X,Y)=O;反之不成立.若COV(X,Y)=O,我們

4、稱X與Y不相關(guān).故有:兩隨機(jī)向量若相互獨(dú)立,則必不相關(guān);兩隨機(jī)向量若不相關(guān),則未必相互獨(dú)立.(3)隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xp)′的協(xié)差陣D(X)=?是對(duì)稱非負(fù)定陣.即?=?′,?′??≥0(?為任給的p維常量).第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.1隨機(jī)向量7第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.1隨機(jī)向量—協(xié)差陣的性質(zhì)(4)Σ=L2,其中L為非負(fù)定陣.由于Σ≥0(非負(fù)定),利用線性代數(shù)中實(shí)對(duì)稱陣的對(duì)角化定理，存在正交陣Γ,使8第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.1隨機(jī)向量—協(xié)差陣的性質(zhì)當(dāng)矩陣Σ>0

5、(正定)時(shí)，矩陣L也稱為Σ的平方根矩陣，記為Σ1/2.當(dāng)矩陣Σ>0(正定)時(shí),必有p×p非退化矩陣A使得Σ=AA′9第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.1隨機(jī)向量—協(xié)差陣的性質(zhì)若Σ≥0(非負(fù)定),必有p×q矩陣A1使得Σ=A1A1′這里記Γ=(Γ1

6、Γ2),Γ1為p×q列正交陣(p≥q).并設(shè)：10在一元統(tǒng)計(jì)中，若U～N(0,1),則U的任意線性變換X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用這一性質(zhì)，可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來定義一般正態(tài)分布：若U～N(0,1),則稱X=σU+μ的分布為一般正態(tài)分布,記為X～N(μ,σ2)。此定

7、義中，不必要求σ＞0,當(dāng)σ退化為0時(shí)仍有意義。把這種新的定義方式推廣到多元情況，可得出多元正態(tài)分布的第一種定義。第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.2多元正態(tài)分布的定義11定義2.2.1設(shè)U=(U1,…,Uq)′為隨機(jī)向量,U1,…,Uq相互獨(dú)立且同N(0，1)分布；設(shè)μ為p維常數(shù)向量，A為p×q常數(shù)矩陣，則稱X=AU+μ的分布為p維正態(tài)分布，或稱X為p維正態(tài)隨機(jī)向量,記為X～Np(μ,AA′)。簡單地說，稱q個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的一些線性組合構(gòu)成的隨機(jī)向量的分布為多元正態(tài)分布。第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估

8、計(jì)§2.2多元正態(tài)分布的第一種定義12第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1在一元統(tǒng)計(jì)中,若X～N(μ,σ2),則X的特征函數(shù)為φ(t)=E(eitX)=exp［itμ-t2σ2/2］13第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)114性質(zhì)1設(shè)U=(U1,…,Uq)′為隨機(jī)向量,U1,…,Uq相互獨(dú)立且同N(0,1)分布；令X=μ+AU,則X的特征函數(shù)為第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1這里t=(t1,…,tp),故ΦX(t)為p元函數(shù).當(dāng)X～N(0,1

9、)時(shí),φ(t)=exp［-t2/2］.15性質(zhì)1的證明：根據(jù)隨機(jī)向量特征函數(shù)的定義和性質(zhì)，經(jīng)計(jì)算即可得出X的特征函數(shù)為ΦX(t)=E(eit?X)=E(eit?(AU+μ))第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2.2多元正態(tài)分布的性質(zhì)1令t′A=s′=(s1,…sq)16第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)§2