常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.ppt

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1、常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1.{an}的前項(xiàng)和Sn=2n2-1,求通項(xiàng)an公式法(利用an與Sn的關(guān)系或利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式)an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)解:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2-1)-[2(n-1)2-1]=4n-2不要遺漏n=1的情形哦!當(dāng)n=1時(shí),a1=1不滿足上式因此an=1(n=1)4n-2(n≥2,)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,求通項(xiàng)公式的基本方法是:注意:要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算,然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例.已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式,求的通項(xiàng)公式。(1)(2)例.已知下列

2、兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式,求的通項(xiàng)公式。(1)(2)解:(1),當(dāng)時(shí)由于也適合于此等式∴(2),當(dāng)時(shí)由于不適合于此等式∴2.已知{an}中,a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項(xiàng)an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n-1)an-1=3n(n≥2)nan=3n+1-3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時(shí),a1=9(n≥2)兩式相減得:∴an=9(n=1)2·3nn(n≥2,)類型1類型1求法:累加法類型1求法:累加法例13.已知{an}中,an+

3、1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2-a1=1a3-a2=2a4-a3=3???an-an-1=n-1an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+???+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+???+2+1+1演練:累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個(gè)等式相加得a1=14.已知{an}中,a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),求通項(xiàng)an練一練an+1-an=n(n∈N*)類型2類型2求法:累乘法類型2求法:累乘法例2演練:累乘法(形如an+1=f

4、(n)?an型)6.已知{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an-nan2=0,求{an}的通項(xiàng)公式解:∵(n+1)an+12+an+1an-nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...注意:累乘法與累加法有些相似,但它是n個(gè)等式相乘所得∴(n+1)an+1=nan類型3類型3例3類型3類型4類型4例4類型4例類型5類型5例5類型5類型6類型6例7類型6類型7其它類型類型7其它類型求法:按題中指明方向求解.例8類型7其它類型求法:按題中指明方向求解

5、.待定系數(shù)法:∴小結(jié):由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(5)an+1=pan+q(p,q為常數(shù))例9,已知數(shù)列的遞推關(guān)系為,且,,求通項(xiàng)公式。解:∵∴令則數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列∴∴∴……兩邊分別相加得:∴例10,已知,,且,求。解:∵∴即令,則數(shù)列是公差為-2的等差數(shù)列因此∴∴常見的拆項(xiàng)公式作業(yè)2.已知{an}中,an+1=an+(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an1.已知{an}中,a1a2a3···an=n2+n(n∈N*),求通項(xiàng)an4.已知{an}中,a1=3,且an+1=an2(n∈N*),則{an}的通項(xiàng)公式an=________

6、____3.已知{an}中,a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),求{an}的通項(xiàng)公式an5.已知{an}中,a1=1,,求通項(xiàng)an(提示:作倒數(shù)變換)

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