仿射變換在解決有關(guān)橢圓的仿射性質(zhì)問題中的應(yīng)用.pdf

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1、電大理工2007年3月DiandaLigong第1期總第230期仿射變換在解決有關(guān)橢圓的仿射性質(zhì)問題中的應(yīng)用譚長明汝春雷鞍山師范學(xué)院（鞍山114007）摘要仿射變換是幾何中一個重要變換，它是從運動變換到射影變換的橋梁。靈活地運用仿射變換，能使一些初等幾何問題由繁到簡。論文中，應(yīng)用仿射不變性和不變量解決一般橢圓的有關(guān)仿射性質(zhì)的命題，使仿射幾何的知識和思想方法體現(xiàn)于解決初等幾何問題中。關(guān)鍵詞仿射變換不變性不變量橢圓圓和橢圓都是初等幾何中常見的圖形，圓1cosθ=[a(x'?a)?a(y'?a)]22131223r(aa?aa)比橢圓更特殊，它有很多很好的性質(zhì)，與圓有112212211關(guān)的定理

2、舉不勝舉，但橢圓則不然，因其本身sinθ=[a(y'?a)?a(x'?a)]11232113r(aa?aa)11221221的定義要比圓復(fù)雜，橢圓的性質(zhì)和定理就很少，將以上二式平方相加得圓的象的方程為：解決一個與橢圓有關(guān)的問題要比解決一個與圓22有關(guān)的相應(yīng)的問題困難得多。在初等幾何中，(x1’-a13’)(a21+a22)-2(x’-a13)(y’-a23)(a11a21+22222有很多有關(guān)橢圓的問題，只能通過解析幾何的a12a22)+(y’-a23)(a11+a12)=r(a11a22-a21a12)方法來解決，這就給我們解題帶來了不少麻煩?？梢宰C明這是一個橢圓的方程，因此得知因此，

3、我們自然期望有一種方法，使得處理有圓的仿射對應(yīng)圖形是橢圓。關(guān)橢圓的問題和處理有關(guān)圓問題一樣容易，而由于圓的仿射對應(yīng)圖形是橢圓，所以可以由仿射變換性質(zhì)可知：橢圓通過適當?shù)姆律渥儚膱A的性質(zhì)推導(dǎo)出橢圓的一些性質(zhì)：已知三角換可變成圓。因此，只要考慮的有關(guān)橢圓的問形ABC的頂點與其內(nèi)切圓的切點的連線共點，題純屬仿射性質(zhì)的問題，就可以先轉(zhuǎn)化為有關(guān)因為圓的仿射對應(yīng)圖形是橢圓，三角形的仿射圓相應(yīng)的問題來解決，再把所得的結(jié)果推廣到對應(yīng)圖形也是三角形，且仿射對應(yīng)圖形保持結(jié)橢圓中去，即可達到我們解題的目的。合性不變，所以圓的切線的仿射對應(yīng)圖形是橢為實現(xiàn)上述目的，我們還應(yīng)該明確，為什圓的切線，因此圖1的仿射對應(yīng)

4、圖形是圖2。么橢圓通過適當?shù)姆律渥儞Q可變成圓？解決有關(guān)橢圓的問題就可以簡化為解決圓命題圓的仿射對應(yīng)圖形是橢圓的問題，主要應(yīng)用如下：證明：設(shè)有以原點為中心，r為半徑的一(1)求橢圓的面積個圓，它的參數(shù)方程為：x=rcosθy=rsinθ利用仿射變換求橢圓的面積見圖1：?x'=a11x+a12y+a13則由仿射變換成：??y'=a21x+a22y+a23L知此圓的象的參數(shù)方程為：?x'?a13=r(a11cosθ+a12sinθ)??y'?a23=r(a21cosθ+a22sinθ)圖1仿射變換求橢圓圖得出cosθ，sinθ為：解：設(shè)在笛式直角坐標系下橢圓的方程為.70.電大理工總第230期

5、22xy35+=1對其進行仿射變換p2(,2?)2和中心的連線以及橢圓弧P1P2a2b222?x1所圍成的面積Soppo。x'=0???aΔ=a≠0則橢圓的仿射對應(yīng)圖?4y1解：如圖3仿射變換??x'=x?y'=03??4?bb?y'=y22??5形為圓x+y=1由于仿射變換保持兩個封閉凸曲線的面積22xy22把橢圓+=1變圓x’+y’=1622的比不變，且等于變換系數(shù)行列式的絕對值，ab即：S'1相應(yīng)的點3535=Δ=（S’為圓的面積，S為橢圓的P1(2,2)，p2(,2?)2分Sab2222π1別變?yōu)閜2('2,2)2，p2(',2?2)2在O’中，12面積）∴=，即：橢圓的面積S=

6、πab。sabP'P'=42，又因為：12(2)有關(guān)橢圓內(nèi)接三角形和外切三角形的問題P'P'12例：在橢圓的內(nèi)接三角形的頂點作切線構(gòu)2222∴α=πsinα===R424成外切三角形，如果這兩個三角形有兩對對應(yīng)圓O’中的扇形面積邊平行，則第三對對應(yīng)邊也平行。12π證明：因為命題的條件和結(jié)論都是仿射性S=×2α×R=×16=4π而oppo24質(zhì)的，故可證明命題對圓成立。（即：仿射變換SO'P1'P2'O'4416∴S=15S=5π保持結(jié)合性、直線的平行性）所以命題對橢圓=×=OP1P2O16O'P1'P2'O'4S3515OP1P20也成立。Y設(shè)△ABC是圓的內(nèi)接三角形，以其頂點作Y圓的切

7、線所構(gòu)成外切三角形為△A1B1C1，且PXP1'XAB//A1B1，BC//B1C1如圖2?！連C//B1C1∴∠∠1=3又∵AB//A1B1PP2∴∠2=∠4而∠3=∠4,∠2=∠5故AC//A1C1C1A圖3橢圓仿射變換圖B通過以上例題可以看出，我們不但能夠求出圓的扇形面積，也能求出橢圓的扇形面積，A只要給出橢圓上的兩點即可，這個結(jié)論在初等圖2圓及外切三角形示意圖幾何中是沒有的。綜上，橢圓的有關(guān)仿射性質(zhì)的問題可轉(zhuǎn)化為圓的問題來解