正交基施密特方法.pdf

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1、格拉姆－施密特正交化維基百科，自由的百科全書（重定向自Gram-Schmidt正交化）在線性代數(shù)中，如果內(nèi)積空間上的一組矢量能夠張成一個(gè)子空間，那么這一組矢量就稱為這個(gè)子空間的一個(gè)基。Gram－Schmidt正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個(gè)基得出子空間的一個(gè)正交基，并可進(jìn)線性代數(shù)一步求出對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。這種正交化方法以J?rgenPedersenGram和ErhardSchmidt命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為巖澤分解（

2、Iwasawadecomposition）。矢量·矩陣·行列式·在數(shù)值計(jì)算中，Gram－Schmidt正交化是數(shù)值不穩(wěn)定的，計(jì)算中累積的舍入誤差會(huì)使最終結(jié)果的正交性變得很差。線性空間因此在實(shí)際應(yīng)用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉(zhuǎn)進(jìn)行正交化。矢量標(biāo)量·矢量·矢量空間·矢量投影·外積·內(nèi)積·目錄叉積·點(diǎn)積·1記法矩陣與行列式2基本思想矩陣·行列式·線性方程組·3算法秩·核·跡·單位矩陣·4不同的形式初等矩陣·方塊矩陣·5參見分塊矩陣·三角矩陣·非奇異方陣·轉(zhuǎn)置矩陣·逆矩陣·對(duì)角矩陣·記法可對(duì)角化矩陣·對(duì)稱矩陣·反對(duì)稱矩陣

3、·正交矩陣·埃爾米特矩陣·：維數(shù)為n的內(nèi)積空間反埃爾米特矩陣·酉矩陣·：中的元素，可以是矢量、函數(shù)，等等正規(guī)矩陣·伴隨矩陣·：與的內(nèi)積余因子矩陣·共軛轉(zhuǎn)置·：、……張成的子空間正定矩陣·冪零矩陣·矩陣分解（LU分解·：在上的投影奇異值分解·QR分解·極分解·特征分解）·子式和余子式·拉普拉斯展開·基本思想線性空間與線性變換Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)新的正交基。線性空間·線性變換·線性子空間·線性生成空間·設(shè)。是上的維子空間，其標(biāo)準(zhǔn)正交基為，且不在上。由投影原理知，與其基

4、·線性映射·在上的投影之差線性投影線性無關(guān)·線性組合·線性泛函·行空間與列空間·對(duì)偶空間·正交·特征矢量·最小二乘法·格拉姆-施密特正交化·是正交于子空間的，亦即正交于的正交基。因此只要將單位化，即那么就是在上擴(kuò)展的子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。根據(jù)上述分析，對(duì)于矢量組張成的空間()，只要從其中一個(gè)矢量（不妨設(shè)為）所張成的一維子空間開始（注意到就是的正交基），重復(fù)上述擴(kuò)展構(gòu)造正交基的過程，就能夠得到的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要確定已有基底矢量的順序，不妨設(shè)為。Gram-Schmidt正交化的過程如下：

5、圖1在上投影，構(gòu)造上的正交基這樣就得到上的一組正交基，以及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。例考察如下歐幾里得空間Rn中矢量的集合，歐氏空間上內(nèi)積的定義為=bTa：下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一組正交矢量：下面驗(yàn)證矢量與的正交性：將這些矢量單位化：于是就是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基底。不同的形式隨著內(nèi)積空間上內(nèi)積的定義以及構(gòu)成內(nèi)積空間的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表現(xiàn)出不同的形式。例如，在實(shí)矢量空間上，內(nèi)積定義為：在復(fù)矢量空間上，內(nèi)積定義為：函數(shù)之間的內(nèi)積則定義為：與之對(duì)應(yīng)，相應(yīng)的Gram－Schmidt正交化

6、就具有不同的形式。參見內(nèi)積空間內(nèi)積正交QR分解來自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=格拉姆－施密特正交化&oldid=20915183”本頁面最后修訂于2012年4月28日(星期六)06:16。本站的全部文字在知識(shí)共享署名-相同方式共享3.0協(xié)議之條款下提供，附加條款亦可能應(yīng)用。（請(qǐng)參閱使用條款）Wikipedia?和維基百科標(biāo)志是維基媒體基金會(huì)的注冊(cè)商標(biāo)；維基?是維基媒體基金會(huì)的商標(biāo)。維基媒體基金會(huì)是在美國(guó)佛羅里達(dá)州登記的501(c)(3)免稅、非營(yíng)利、慈善機(jī)構(gòu)。