彈性本構方程ppt課件.ppt

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1、中篇彈性力學1第三章彈性本構方程§3-1應力—應變關系的一般表達§3-2各向異性線彈性體§3-3各向同性線彈性體§3-4彈性應變能與彈性應變余能2§3-1應力—應變關系從靜力學的角度對應力進行了分析從幾何學的角度對應變進行了分析平衡微分方程幾何方程和變形協(xié)調方程上述方程適用于任意連續(xù)物體，包括彈性力學和塑性力學。這些方程還不能解決彈塑性力學問題。需要研究應力與應變之間的物理關系，即本構關系。對應的函數(shù)方程稱為物理方程，或本構方程。一、本構方程3材料的應力與應變關系需通過實驗確定的。本構方程實際是應力

2、與應變關系實驗結果的數(shù)學描述。由于實驗的局限性，通常由簡單載荷實驗獲得應力與應變關系結果，建立描述相應的數(shù)學模型，再將數(shù)學模型用于復雜載荷情況的分析。（用一定實驗驗證結果）4例如：材料單軸拉伸應力-應變曲線：esse非線彈性線彈性塑形變形塑形變形5由材料力學已知，Hooke定律可表示為：單向拉壓純剪切E為拉壓彈性模量；橫向與縱向變形關系G為剪切彈性模量為泊松比二.各向同性材料的廣義Hooke定律（本構方程）6對復雜應力狀態(tài)，在彈性力學假設條件下，應用疊加原理：考慮x方向的正應變：產生的x方向應變：產

3、生的x方向應變：產生的x方向應變：疊加同理：7剪應變：物理方程：說明：1.方程表示了各向同性材料的應力與應變的關系，稱為廣義Hooke定義。也稱為本構關系或物理方程。2.方程組在線彈性條件下成立。8三.體積應變與體積彈性模量令：則：令：sm稱為平均應力;q稱為體積應變9四.物理方程的其他表示形式物理方程：10用應變表示應力：或：各種彈性常數(shù)之間的關系11彈性條件下，應力與應變有唯一確定的對應關系，三維應力狀態(tài)下，一點的應力取決于該點的應變狀態(tài)，應力是應變的函數(shù)（或應變是應力的函數(shù)）6個應力分量可表述

4、為6個應變分量的函數(shù)。§3-2線彈性體本構方程的一般表達式12當自變量(應變)很小時，式（１）中的各表達式可用泰勒級數(shù)展開．略去二階及以上的高階微量，則式（１）中的第一式展開為：表示應變分量為零時的值，由基本假設，初始應力為零．故表示函數(shù)f1對應變分量的一階偏導數(shù)在應變分量為零時的值，等于一個常數(shù)13故,式（１）可用一個線性方程組表示（線彈性體）式（２）是純數(shù)學推導結果，實際上與虎克定律線性關系一致，是在彈性小變形條件下彈性體內任一點的應力與應變的一般關系式．式（２）中的系數(shù)　　　　　　　　稱為彈性

5、常數(shù)，共有３６個．14由均勻性假設，彈性體各點作用同樣應力時，必產生同樣的應變，反之亦然．因此　為常數(shù)，其數(shù)值由彈性體材料的性質而定．式（２）推導過程未引用各向同性假設，故可適用于極端各向異性體、正交各向異性體、二維各向同性體以及各向同性體等．15式(3)可用簡寫為稱為彈性矩陣.式（２）可用矩陣表示16物體內的任一點,沿各個方向的性能都不相同,則稱為極端各向異性體.(這種物體的材料極少見)三、.彈性常數(shù)1.極端各向異性體:由能量守恒定律和應變能理論可證明,彈性常數(shù)之間存在關系即使在極端各向異性條件下

6、,式(2)中的36個彈性常數(shù)也不是全部獨立.36個彈性常數(shù)減少到21個.彈性矩陣是對稱矩陣.17彈性矩陣為18極端各向異性體的特點:(1)當作用正應力時,不僅會產生正應變,還會引起剪應變。(2)當作用剪應力時,不僅會產生剪應變,也會引起正應變。192.正交各向異性體如在均勻體內,任意一點都存在著一個對稱面,在任意兩個與此面對稱的方向上,材料的彈性性質都相同。稱為具有一個彈性對稱面的各向異性體。該對稱面稱為彈性對稱面,垂直于彈性對稱面的方向稱為物體的彈性主方向。具有一個彈性對稱面的各向異性體,彈性常數(shù)

7、有13個。單斜晶體(如正長石)具有這類彈性對稱。20如果在物體內的任意一點有三個互相正交的彈性對稱面,這種物體稱為正交各向異性體。如:煤塊、均勻的木材、疊層膠木、復合材料等正交各向異性體有9個彈性常數(shù)。其彈性矩陣為213.橫觀各向同性體如物體內任意一點,在平行于某一平面的所有各個方向都有相同的彈性性質,這類正交異性體為橫觀各向同性體。如不同層次的土壤、復合板材等。橫觀各向同性體只有五個彈性常數(shù),彈性矩陣為22物體內任意一點,沿任何方向的彈性性質都相同。4.各向同性體各向同性體只有兩個獨立的彈性常數(shù),

8、彈性矩陣為:23可見:比較:24§3-3彈性應變能彈性體受外力作用后產生變形，外力在其作用位置的變形上做功。忽略速度、熱交換和溫度等因素，則外力所做的功全部轉換為應變能儲存在物體的內部。變分法是研究泛函求極值的方法。彈性力學問題的變分法，也稱為能量法，是和彈性體的應變能或應變余能密切相關的，是有限元法的基礎。單位體積中具有的應變能，稱為應變能密度或比能。25一、一維狀態(tài)細長直桿，長度為L，橫截面積為S，兩端受拉力P作用。產生的伸長量為DL，外力作的功為：單位體積的應變