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《現(xiàn)代控制理論第一章 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第1章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型本課程的任務(wù)是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計(jì)，本課程所研究的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行的。因此，本章首先介紹控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本章內(nèi)容為：1、狀態(tài)空間表達(dá)式2、由微分方程求出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式3、傳遞函數(shù)矩陣4、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5、線性變換(狀態(tài)變量選取非唯一）6、組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述7、利用MATLAB進(jìn)行模型之間的變換1.1狀態(tài)空間表達(dá)式1.1.1狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)空間狀態(tài)——?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是一個(gè)可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。狀態(tài)變量——確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量，如果知道這些變量在任意初始時(shí)刻的值以及的系統(tǒng)輸入，便能夠完整地確定系統(tǒng)在任
2、意時(shí)刻的狀態(tài)。（狀態(tài)變量的選擇可以不同）≥狀態(tài)空間——以所選擇的一組狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的正交線性空間，稱為狀態(tài)空間。例：如下圖所示電路，為輸入量，為輸出量。建立方程：初始條件：和可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量1.1.2狀態(tài)空間表達(dá)式前面電路的微分方程組可以改寫如下，并且寫成矩陣形式：該方程描述了電路的狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系，稱為該電路的狀態(tài)方程，這是一個(gè)矩陣微分方程。如果將電容上的電壓作為電路的輸出量，則該方程是聯(lián)系輸出量和狀態(tài)變量關(guān)系的方程，稱為該電路的輸出方程或觀測方程。這是一個(gè)矩陣代數(shù)方程。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，或稱為系統(tǒng)動(dòng)
3、態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。設(shè)：則可以寫成狀態(tài)空間表達(dá)式：推廣到一般形式：如果矩陣A,B,C,D中的所有元素都是實(shí)常數(shù)時(shí)，則稱這樣的系統(tǒng)為線性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系統(tǒng)。如果這些元素中有些是時(shí)間t的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)圖和信號(hào)流圖如下：嚴(yán)格地說，一切物理系統(tǒng)都是非線性的?？梢杂孟旅娴臓顟B(tài)方程和輸出方程表示。如果不顯含t，則稱為非線性定常系統(tǒng)。1.1.3狀態(tài)變量的選?。?）狀態(tài)變量的選取可以視問題的性質(zhì)和輸入特性而定（2）狀態(tài)變量選取的非惟一性（3）系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是惟一的在前面的例子中，如果重新選擇狀態(tài)變量則其狀態(tài)方程為輸出方程為：1.1
4、.4狀態(tài)空間表達(dá)式建立的舉例例1-1建立右圖所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（注：質(zhì)量塊m的重量已經(jīng)和彈簧k的初始拉伸相抵消）根據(jù)牛頓第二定律即：選擇狀態(tài)變量則：機(jī)械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為該系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下例1-2建立電樞控制直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)空間表達(dá)式電樞回路的電壓方程為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式為（式中，為電動(dòng)勢常數(shù)；為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；為折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。）可選擇電樞電流和角速度為狀態(tài)變量，電動(dòng)機(jī)的電樞電壓為輸入量，角速度為輸出量。狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)圖如下：例1-3建立單極倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。單級倒立擺系統(tǒng)是許多重要的宇宙空間應(yīng)用的一個(gè)簡單模型。在水平方向，應(yīng)
5、用牛頓第二定律：對擺球來說，在垂直于擺桿方向，應(yīng)用牛頓第二定律：而有：線性化：當(dāng)和較小時(shí)，有化簡后，得求解得：選擇狀態(tài)變量，，，為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸出狀態(tài)圖為1.2由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式一個(gè)系統(tǒng)，用線性定常微分方程描述其輸入和輸出的關(guān)系。通過選擇合適的狀態(tài)變量，就可以得到狀態(tài)空間表達(dá)式。這里分兩種情況：1、微分方程中不含輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，（即1.2.1中的內(nèi)容）2、微分方程中含有輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，（即1.2.2中的內(nèi)容）1.2.1微分方程中不含有輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為選取狀態(tài)變量則有寫成矩陣形式狀態(tài)圖如下：一般情況下，n階微分方程為：選擇狀態(tài)變量如下：┆寫成矩陣形式：
6、系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下：1.2.2微分方程中含有輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為（一）待定系數(shù)法選擇狀態(tài)變量：其中，待定系數(shù)為：于是寫成矩陣形式系統(tǒng)的狀態(tài)圖一般情況下，n階微分方程為：選擇n個(gè)狀態(tài)變量為系統(tǒng)方程為系統(tǒng)狀態(tài)圖如下（二）輔助變量法設(shè)n階微分方程為：Laplace變換，求傳遞函數(shù)引入輔助變量z返回到微分方程形式：以及選擇狀態(tài)變量如下：┆寫成矩陣形式注：如果輸入項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)階次和輸出項(xiàng)導(dǎo)數(shù)階次相同，則有d。例1-4已知描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解（1）待定系數(shù)法選擇狀態(tài)變量如下其中于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為（2）輔助變量法引入輔助變量z選擇狀態(tài)變量于是系統(tǒng)的狀
7、態(tài)空間表達(dá)式為1.3傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)——系統(tǒng)初始松弛（即：初始條件為零）時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。1.3.1傳遞函數(shù)單入-單出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為在初始松弛時(shí)，求Laplace變換，并且化簡狀態(tài)變量對輸入量的傳遞函數(shù)輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)（即：傳遞函數(shù)）例1-5系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：1.3.2傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達(dá)式為進(jìn)行拉普拉斯變換如果存在，則如果，則狀態(tài)變量對
