高等數(shù)學(xué)方明亮6.1 向量及其線性運(yùn)算.ppt

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1、高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）7/22/20211第六章向量代數(shù)與空間解析幾何（VectorAlgebra&SpaceAnalyticGeometry）數(shù)量關(guān)系—第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式—點(diǎn),線,面基本方法—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）7/22/20212主要內(nèi)容第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第三節(jié)曲面及其方程第四節(jié)空間曲線及其方程第五節(jié)平面及其方程第六節(jié)空間直線及其方程7/22/20213第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算第六章（VectorandItsLi

2、nearOperation）四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影7/22/20214一、向量的概念(ConceptofVector)表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1M2,或a,7/22/20215規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或

3、相反,則稱a與b平行,a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面.記作－a;7/22/20216二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.（Vector’sLinearOperation）7/22/202177/22/20218三角不等式2.向量的減法7/22/20219?是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見?與a的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算

4、律:結(jié)合律分配律因此3.向量與數(shù)的乘法7/22/202110設(shè)a為非零向量,則(?為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,取?＝±且再證數(shù)?的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b同向時(shí)則b與?a同向,設(shè)又有b＝?a,定理17/22/202111“”則例1設(shè)M為解:ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),已知b＝?a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b（自學(xué)課本例1～2）7/22/202112ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)o,坐標(biāo)面卦限(

5、八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ（RectangularCoordinatessysteminSpace）7/22/202113向徑坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);在直角坐標(biāo)系下7/22/202114坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:7/22/202115在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)M則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r可用向徑OM表示.2.向量的坐標(biāo)表示7/22/202116四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比

6、例:7/22/202117求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得例2（課本例3）7/22/202118在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即例3已知兩點(diǎn)（課本例4）7/22/202119得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:說明:由7/22/202120五、向量的模（Module）、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與7/22/202121證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)例4求證以（自學(xué)課本例5）7/22/20

7、2122等距解:設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).例5在z軸上求與兩點(diǎn)（自學(xué)課本例6）7/22/202123(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6已知兩點(diǎn)和解:求提示:（自學(xué)課本例7）7/22/202124設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱?=∠AOB(0≤?≤?)為向量的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角?,?,?為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.記作2.方向角與方向余弦(DirectionAn

8、gleandCosine)7/22/202125方向余弦的性質(zhì):7/22/202126和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量例7已知兩點(diǎn)（課本例8）7/22/202127解:已知角依次為求點(diǎn)A的坐標(biāo).則因點(diǎn)A在第一卦限,