高等數(shù)學(xué)方明亮6.3 曲面及其方程.ppt

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1、第三節(jié)曲面及其方程第六章（SurfaceandItsEquation）四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面五、小結(jié)與思考練習(xí)8/12/20211一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段AB的垂直平分面.引例:1:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,2:不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.（EquationsforaSurface)8/12/20212如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面

2、S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).定義18/12/20213故所求方程為方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為R的軌跡表示上(下)球面.例1求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)8/12/20214解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.的曲面.（課本例3）表示怎樣半徑為的球面.球心為例2研究方程8/12/20215定義2一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面繞

3、其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線.例如:(SurfaceofRevolution)8/12/20216故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz面上曲線C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:8/12/20217求旋轉(zhuǎn)曲面方程時(shí),平面曲線繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),則該坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的變量不變,而曲線方程中另一變量寫成該變量與第三變量平方和的正負(fù)平方根.思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？8/12/20218的圓錐面方程.（課本例4）解:在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊

4、平方例3試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為8/12/20219分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例4求坐標(biāo)面xoz上的雙曲線(旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面）(旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面）（習(xí)題6-35）8/12/202110三、柱面引例分析方程表示怎樣的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,(Cylinder;CylindricalSurface)的曲面

5、?8/12/202111平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.?表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.z軸的橢圓柱面.?z軸的平面.?表示母線平行于(且z軸在平面上)表示母線平行于C叫做準(zhǔn)線,l叫做母線.定義38/12/202112柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準(zhǔn)線xoz面上的曲線l3:H(z,x)=0.母線柱面,準(zhǔn)線xoy面上的曲線l1:F(x,y)=0.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2:G(y,z)=0.母線一般地,在三維空間8/12/202113四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見

6、標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)(QuadricSurface;SurfaceofSecondOrder)8/12/202114橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x或y方向的伸縮變換得到,見書P202)1.橢圓錐面(EllipticCone)8/12/202115(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓2.橢球面(Ellipsoid)8/12/202116與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝

7、b＝c時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))8/12/2021173.拋物面(Paraboloid)(1)橢圓拋物面(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)a=b時(shí)為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.xyzxyz8/12/202118(1)單葉雙曲面(HyperboloidofOneSheet)橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:4.雙曲面(Hyperboloid)8/12/202119虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z軸;相交直線:雙曲線:8/12/202120雙曲線橢圓