《高數(shù)極限》PPT課件.ppt

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1、第二章　極限數(shù)列的極限無窮小量與無窮大量結(jié)束函數(shù)的極限極限的運(yùn)算極限存在定理兩個(gè)重要極限無窮小量的比較引言微積分學(xué)乃至分析數(shù)學(xué)的基本概念之一，用于描述變量在某一變化過程中的變化趨勢(shì)。完極限的樸素思想和應(yīng)用可追溯到古代，中國(guó)早在2000年前就已能算出方形、圓形、圓柱等幾何圖形的面積和體積，3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想來近似計(jì)算圓周率π的。第二章極限本章學(xué)習(xí)要求：了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念，在后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)中逐步加深對(duì)極限思想的理解。掌握函數(shù)極限存在與左右極限之間

2、的關(guān)系，了解函數(shù)極限的性質(zhì)，了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則。掌握極限的四項(xiàng)運(yùn)算法則，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量階的比較，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限。第二節(jié)函數(shù)的極限定義想想：如何從幾何的角度來表示該定義？將圖形對(duì)稱過去后,你有什么想法?將圖形對(duì)稱定義現(xiàn)在從整體上來看這個(gè)圖形,你有什么想法?你能否由此得出一個(gè)極限的定義和一個(gè)重要的定理.現(xiàn)在從整體上來看這個(gè)圖形,你有什么想法?定義由于

3、x

4、>X>0??x>X或x

5、x???的情形.既包含了x?+?,定理及極限的三個(gè)定義即可證明該定理.由絕對(duì)值關(guān)系式:證成立.由極限的定義可知:例1解無限縮小,可以小于任意小的正數(shù).因而應(yīng)該有下面證明我們的猜想:證明過程怎么寫？例2這里想得通嗎？例2證由圖容易看出：分析需要證明之處請(qǐng)同學(xué)們自己證一下.例2x?x0時(shí)函數(shù)的極限,是描述當(dāng)x無限接近x0時(shí),函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì).f(x)在點(diǎn)x0=0處有定義.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0=1處沒有定義.例3定義((證這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例4證例5證？如何處理它例6這里

6、x+2

7、沒有直接的有界

8、性可利用,但又必須設(shè)法去掉它.因?yàn)閤?1,所以,從某時(shí)候開始x應(yīng)充分地接近1.()0x211??11+?1??????????分析結(jié)論證證畢例6在極限定義中：1)?與?和x0有關(guān),即?=?(?,x0).一般說來,?值越小,相應(yīng)的?值也越小.2)不等式

9、f(x)－a

10、0,同時(shí)也要對(duì)x?x0以任何方式進(jìn)行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限,但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.y=a??y=a??y=axOyx0x0??x0+?曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過在以后的敘述中,如果函數(shù)f(x

11、)極限的某種性質(zhì)與運(yùn)算對(duì)任何一種極限過程均成立,則將使表示對(duì)任意一種極限過程的函數(shù)用符號(hào)三、函數(shù)極限的性質(zhì)極限.函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似,我們只列舉出來,其證明過程請(qǐng)同學(xué)們自己看書.2.有界性定理若limf(x)存在,則函數(shù)f(x)在該極限過程中必有界.1.唯一性定理若limf(x)存在,則極限值必唯一.3.保號(hào)性定理極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系該定理也稱為第一保號(hào)性定理極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系

12、該定理也稱為第二保號(hào)性定理第二保號(hào)性定理成立.運(yùn)用反證法,設(shè)f(x)?0(f(x)?0)時(shí),有a<0(a>0),則由第一保號(hào)性定理將推出f(x)<0(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了注意:當(dāng)f(x)>0(f(x)<0)時(shí),按照第二保號(hào)性定理也只能得到a?0(a?0)結(jié)論.考慮兩個(gè)問題.((y=a??y=a??y=axOyx0x0+?函數(shù)在x0的左邊可以無定義想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?如何描述這種情形？想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?y=a??y=a??y=axOyx0x0??函數(shù)在x0的右邊可無定

13、義如何描述這種情形？定義定義(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例7y=a??y=a??y=axOyx0x0+?y=a??y=a??y=aOyx0x0??對(duì)此有什么想法沒有？“左右結(jié)合”定理利用0<

14、x?x0

15、

16、數(shù)且存在,則是否一定有？三、極限定義及定理小結(jié)極限定義一覽表目標(biāo)不等式過程描述度量極限形式極限定義一覽表目標(biāo)不等式過程描述度量極限形式重要定理內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.函數(shù)極限的性質(zhì):保號(hào)性定理與左右極限等價(jià)定理思考與練習(xí)1.若極限存在,2.設(shè)函數(shù)且存在,則是否一定有？練習(xí)證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有