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1、奇數(shù)階幻方的編排方法簡便易學(xué)的編排方法。一、九子排列法宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中,總結(jié)“洛書”幻方的編排方法時說:三階幻方的編排方法是“九子排列,上下對易,左右相更,四維挺出”。這四個句子是什么意思呢?我們通過下面的一組圖來加以理解。先畫出一個3×3的“九宮格”,并在第二列上、下方和第二行左、右邊各添加一個虛線格子,把1~9這九個數(shù)字按順序?qū)懺谌缟蠄D所示的三排斜線上,然后上、下對調(diào),左右交換,(因為我們是在格子上進行排列,就不必再進行“四維挺出”了),最后將虛線格子擦掉就可以了。利用這種方法我
2、們就很容易得到幻方(一)中例1的圖A。但是這種方法有一定的局限性,只能編排三階幻方,如果要編排5×5,7×7,9×9,……等奇數(shù)階幻方又該怎么辦呢?我們繼續(xù)看第二種方法。二、羅伯法請大家注意觀察幻方(一)中例1的圖H,可以總結(jié)出下面的編排方法:1、在第一行正中央的方格子中填上1;2、按斜上方向在1的右上角填入2,但出上框了,這時要把2改填在2所在這一列的最下邊;3、按斜上方向在2的右上角填入3,又出右框了,把3改填在3所在這一行的最左邊;(上圖1)4、按斜上方向在3的右上角填入4,但與先填入的1重合了
3、,這時就把4改填在3的下面,然后把5、6依次按斜上方向填入方格內(nèi);5、按斜上方向在6的右上角填入7,但出框的右上角,這時就把7改填在6的下面,(與重合相同)。重復(fù)上面的做法,把8、9依次填入方格中,這樣就得到了圖2,與左邊的圖H完全相同。這種編排奇數(shù)階幻方的方法叫“羅伯法”。使用“羅伯法”時總是向右上的斜行方向進行編排。編排過程中會出現(xiàn)五種情況:“第一行正中央排什么數(shù)?”、“排出上框怎么辦?”、“排出右框怎么辦?”、“排重復(fù)了怎么辦?”、“排出右上角怎么辦?”為了便于記憶,我們把羅伯法概括成下面的的幾
4、句話:1居上行正中央,依次斜排莫忘記;上出框時往下寫,右出框時左邊放;重疊就在下格填,右上出框一個樣。羅伯法不僅可以編排三階幻方,而且可以編排任何奇數(shù)階幻方。下圖就是用羅伯法編排的五階幻方,請大家在方格子中跟著做一、二次,并逐行、逐列及對角線檢驗幻和是否正確。三、巴舍法下面以五階幻方為例,再介紹一種奇數(shù)階幻方的編排方法。步驟如下:①先畫出一個5×5(五行五列)的方格,在方格的四周畫出凸階梯式的虛線方格(如下圖1)②把1~25這二十五個數(shù)按斜行方向從左到右依次填入圖中(如上圖2);③以3、15、23、1
5、1四個數(shù)為頂點(實際上就是五階幻方的四個頂點)畫出一個正方形;④把正方形外面凸出的虛線方格中的數(shù)按“上移下,下移上;左移右,右移左”的方法,全部平移5格到對應(yīng)部分的方格中,擦掉虛線格子,就得到一個五階幻方(見下圖)。這種編排幻方的方法叫“巴舍法”,也叫平移補空法,它和“羅伯法”一樣,也適用于一切的奇數(shù)階幻方的編排。需要提醒大家注意的是,在步驟②中,填寫1~25這二十五個數(shù)時,可以從左向右上填寫,也可以從右向左上填寫,或者從上向右下填寫,還可以從上向左下填寫,其移動后的結(jié)果都是一個五階幻方,同學(xué)們可以自
6、己動手試一試。另外,編排n階幻方時,不一定非要從1開始,只要是這些數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列就可以了。練習(xí)(一定要完成的哦)1、使用“羅伯法”將4~12編排一個三階幻方。2、用“羅伯法”將、、、、、、、、編成一個三階幻方。3、使用“巴舍法”將1~49編排一個七階幻方。雙偶數(shù)階幻方的編排方法一、中心對稱交換法例1、用1~16這十六個數(shù)編排一個四階幻方(四行四列)。【分析與解答】用1至16編排一個四階幻方,就是把1~16這十六個數(shù)填入四行四列的方格內(nèi),使每行、每列、兩條對角線上的四個數(shù)的和都相等。先計算這個相等的和
7、是多少?也就是前面學(xué)過的幻和:(1+2+3+…+15+16)÷4=34。再想辦法將這十六個數(shù)排列成幻和是34的四階幻方。①先把1~16按順序填入4×4的方格中(如下圖A);我們把圖A稱為四階自然方陣。這時可以發(fā)現(xiàn),兩條對角線上的四個數(shù)的和都恰好是34,其它每行、每列上四個數(shù)的和都不是34,因此,這兩條對角線上的八個數(shù)都不動,作為四階幻方兩條對角線上的數(shù)。②觀察自然方陣(圖A)中的第一列和第四列。第一列上四個數(shù)的和是1+5+9+13=28,比34少6;第四列上四個數(shù)的和是4+8+12+16=40,比34
8、多6。為了使第一列和第四列上四個數(shù)的和分別是34,只要把這兩列中對角線以外的相應(yīng)的數(shù)(即5和8,9與12)相互交換就可以了(圖B)。同樣地,為使第二、三列上的四個數(shù)的和也是34,只要把這兩列中對角線以外的相應(yīng)的數(shù)(即2與3,14與15)相互交換就可以了(圖C)。③再觀察上圖C的第一、第四行。第一行上四個數(shù)的和是1+3+2+4=10,比34少24;第四行上四個數(shù)的和是13+15+14+16=58,比34多24。為了使第一行和第四行上四個數(shù)的和分別是34,只