08.幻方(三)雙偶數(shù)階幻方的編排方法

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1、3、幻方（三）——雙偶數(shù)階幻方的編排方法奇數(shù)階幻方我們已經(jīng)會(huì)編排了，偶數(shù)階幻方怎么編排呢？和奇數(shù)階幻方的編排方法一樣嗎？為了便于講解，我們把偶數(shù)分為兩類：一類是4、8、12、16、……這樣的偶數(shù)叫做雙偶數(shù)（能連續(xù)兩次被2整除），雙偶數(shù)也就是4的倍數(shù)，因此雙偶數(shù)可用4k表示（k是自然數(shù)）；另一類是6、10、14、18、……這樣的偶數(shù)叫做單偶數(shù)（只能一次被2整除），單偶數(shù)可用4k＋2表示（k是自然數(shù)）。這一節(jié)先學(xué)習(xí)雙偶數(shù)階幻方的編排方法。一、中心對(duì)稱交換法例1、用1～16這十六個(gè)數(shù)編排一個(gè)四階幻方（四行四列）?！痉治雠c解答】用1至16編排一個(gè)四階幻方，就是把1～16這十六個(gè)數(shù)填入四行四列的方

2、格內(nèi)，使每行、每列、兩條對(duì)角線上的四個(gè)數(shù)的和都相等。先計(jì)算這個(gè)相等的和是多少？也就是前面學(xué)過的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。再想辦法將這十六個(gè)數(shù)排列成幻和是34的四階幻方。①先把1～16按順序填入4×4的方格中（如下圖A）；我們把圖A稱為四階自然方陣。這時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，兩條對(duì)角線上的四個(gè)數(shù)的和都恰好是34，其它每行、每列上四個(gè)數(shù)的和都不是34，因此，這兩條對(duì)角線上的八個(gè)數(shù)都不動(dòng)，作為四階幻方兩條對(duì)角線上的數(shù)。②觀察自然方陣（圖A）中的第一列和第四列。第一列上四個(gè)數(shù)的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四個(gè)數(shù)的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。為了使第一列

3、和第四列上四個(gè)數(shù)的和分別是34，只要把這兩列中對(duì)角線以外的相應(yīng)的數(shù)（即5和8，9與12）相互交換就可以了（圖B）。同樣地，為使第二、三列上的四個(gè)數(shù)的和也是34，只要把這兩列中對(duì)角線以外的相應(yīng)的數(shù)（即2與3，14與15）相互交換就可以了（圖C）。③再觀察上圖C的第一、第四行。第一行上四個(gè)數(shù)的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四個(gè)數(shù)的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。為了使第一行和第四行上四個(gè)數(shù)的和分別是34，只要把這兩行中對(duì)角線以外的相應(yīng)的數(shù)（即2和14，3與15）相互交換就可以了。同樣地，為使第二、三行上的四個(gè)數(shù)的和也是34，只要把這兩行中對(duì)角線以外的相應(yīng)的數(shù)

4、（即8與12，5與9）相互交換就可以了。交換后的結(jié)果見圖D，這就是一個(gè)四階幻方。這樣編排太復(fù)雜了！能不能由四階自然方陣直接得到四階幻方？對(duì)比圖A與圖D可以發(fā)現(xiàn)：只要把圖A中的2與15，3與14，5與12，8與9互相交換，就可以直接得到圖D（見下圖）。那么，2與15，3與14，5與12，8與9是什么關(guān)系呢？不難看出，它們的位置是“對(duì)稱”的。例如2在從上往下、從左往右數(shù)的第一行第二列，而15在從下往上、從右往左數(shù)的第一行第二列。又如，9在從上往下、從左往右數(shù)的第三行第一列，而8在從下往上、從右往左數(shù)的第三行第一列。我們把這樣的兩個(gè)數(shù)叫“中心對(duì)稱數(shù)”，也就是說只要把四階自然方陣中對(duì)角線以外的數(shù)

5、作中心對(duì)稱交換就可以直接得到四階幻方，把這種編排雙偶數(shù)階幻方的辦法叫“中心對(duì)稱交換法”。由例1可以看到，用“中心對(duì)稱交換法”編排四階幻方的主要步驟歸納如下：①把1～16按順序排成四階自然方陣；②四階自然方陣中對(duì)角線上的八個(gè)數(shù)不動(dòng)，作為四階幻方兩條對(duì)角線上的數(shù)；③把四階自然方陣中對(duì)角線以外的數(shù)作中心對(duì)稱交換。運(yùn)用“中心對(duì)稱交換法”不僅可以編排四階幻方，而且可以編排任意的雙偶數(shù)階幻方。例2、用1～64這六十四個(gè)數(shù)編排一個(gè)八階幻方（八行八列）?！痉治雠c解答】編排步驟如下:①把1至64按順序填入8×8的方格子中,排成八階自然方陣；（見左下圖）②把八階自然方陣分成四個(gè)四階自然方陣（左下圖粗線條），

6、每個(gè)四階自然方陣分別畫出對(duì)角線（圖中有顏色的數(shù)字）；③每個(gè)四階自然方陣中對(duì)角線的數(shù)字都不動(dòng)，把對(duì)角線以外的數(shù)字在八階自然方陣中進(jìn)行中心對(duì)稱交換。這樣就得到一個(gè)八階幻方（見右下圖）。二、環(huán)形平移補(bǔ)空法例3、用“環(huán)形平移補(bǔ)空法”編排一個(gè)八階幻方。【分析與解答】編排步驟如下:①畫一個(gè)8×8的八階幻方空格（下圖A的中間實(shí)線部分），并在左右兩端畫出凸階梯狀虛線方格（如圖A所示，每向外一層上、下各減少一格）。②把1至64這六十四個(gè)數(shù)分成四組，即第一組：1～16，第二組：17～32，第三組：33～48，第四組：49～64。③把第一組的十六個(gè)數(shù)從八階幻方的第一行第八列開始，按順時(shí)針方向依次排成環(huán)形（紅色

7、）；第二組的十六個(gè)數(shù)從八階幻方的第八行第四列開始，按逆時(shí)針方向依次排成環(huán)形（藍(lán)色）；第三組的十六個(gè)數(shù)從八階幻方的第一行與1相隔一格開始，按順時(shí)針方向依次排成環(huán)形（深綠色）；第四組的十六個(gè)數(shù)從八階幻方的第八行第二列開始，按逆時(shí)針方向依次排成環(huán)形（淺綠）。（見圖B）④把右邊凸階梯狀虛線方格中的數(shù)分別向左平移8格到相應(yīng)的八階幻方中，去掉右邊凸階梯狀虛線格（圖C）；把左邊凸階梯狀虛線方格中的數(shù)分別向右平移8格到相應(yīng)的八階幻方中，去掉左邊凸階