離散時間隨機(jī)信號概述.ppt

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1、第五章離散時間隨機(jī)信號Discrete-timeStochasticSignal5.5相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)根據(jù)相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)的定義，稍加推導(dǎo)就可得到它們的一些很有用的性質(zhì)。我們把這些性質(zhì)列舉如下，以備將來參考。考慮兩個實平穩(wěn)隨機(jī)過程{xn}和{yn}，它們的自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列、互相關(guān)序列和互協(xié)方差序列分別是性質(zhì)1：當(dāng)mx=0和my=0時，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。證明：根據(jù)定義有Rxx(m)=E[xnxn+m]Cxx(m)=E[(xn-mx)(xn+m-mx)]=E[xnxn+m]-mxE[xn]-mx

2、E[xn+m]+m2x=Rxx(m)-m2xRxy(m)=E[xnyn+m]Cxy(m)=E[(xn-mx)(yn+m-my)=E[xnyn+m]-mxE[yn+m]-myE[xn]+mxmy=Rxy(m)-mxmy性質(zhì)2：證明：根據(jù)定義有Rxx(0)=E[xnxn]=E[x2n]Cxx(0)=E[(xn-mx)(xn-mx)]=E[(xn-mx)2]=σ2x性質(zhì)3：證明：根據(jù)定義有Rxx(-m)=E[xnxn-m]令n-m=n’，即n=n’+m，則上式為Rxx(-m)=E[xn'+mxn']=Rxx(m)根據(jù)性質(zhì)1和上式，得到Cxx(-m)=Rxx

3、(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m)用類似的方法不難證明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。性質(zhì)4：特例：證明：由于已假設(shè){xn}和{yn}都是實隨機(jī)過程，因此下列不等式成立：將左式左端展開，得到所以令xn=yn，則上式化簡為其余兩式可用類似的方法證明。從下式開始證明。性質(zhì)5：若yn=xn-n0，則有證明：令n-n0=n'，根據(jù)定義和假設(shè)條件yn=xn-n0，有根據(jù)性質(zhì)1，得到由于my=E[yn]=E[xn-n0]=mx，故上式變?yōu)槔眯再|(zhì)5的第一個結(jié)論，即Ryy(m)=Rxx(m)，則上式成為性質(zhì)6：在隨機(jī)過

4、程中，兩隨機(jī)變量的時間間隔越大，它們的相關(guān)性越小。時間間隔趨于無窮大的兩隨機(jī)變量，它們之間不再相關(guān)。這一性質(zhì)可用以下公式表示：根據(jù)性質(zhì)1，由上列兩式可以得出和性質(zhì)6說明：相關(guān)序列和協(xié)方差序列都是非周期序列，而且隨著m值的增加逐漸衰減，當(dāng)m值很大時，序列值已趨近為零。因此，相關(guān)序列和協(xié)方差序列的Z變換或傅里葉變換通常是存在的。上面6個性質(zhì)可歸納成圖5.4所示的圖形。記住了這個圖，也就記住了這些性質(zhì)。從這6個性質(zhì)可以得出以下重要結(jié)論：(1)工程實際中常常要處理的信號是不可預(yù)知的具有無限能量的非周期信號，這類信號不滿足絕對可和條件，甚至不滿足乘以指數(shù)衰減序

5、列后絕對可和的條件，因此它們的傅里葉變換和Z變換都不存在。但是，如果將這類信號看成是一個離散隨機(jī)過程的取樣序列，那么，由于其自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列都是非周期序列，而且當(dāng)m趨于無窮大時，自協(xié)方差序列的值將衰減為零，在均值等于零的條件下，其自相關(guān)序列的值也將衰減為零，這說明自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列都是有限能量序列，它們的Z變換和傅里葉變換是存在的，因而可以在頻域或Z域中表示和分析這些信號。(2)自相關(guān)序列不僅反映出隨機(jī)過程中不同時刻的隨機(jī)變量之間相關(guān)性的大小，而且可以根據(jù)自相關(guān)序列求出隨機(jī)過程的均值、均方值和方差等數(shù)字特征，正如性質(zhì)6、性質(zhì)2所說明的那

6、樣。因此，自相關(guān)序列或自協(xié)方差序列是較全面地描述隨機(jī)過程特性的重要參量。5.6功率譜1、自協(xié)方差序列和自相關(guān)序列的傅里葉變換和z變換在研究確定性信號時，人們經(jīng)常用傅里葉變換或Z變換對信號進(jìn)行頻譜分析?，F(xiàn)在來討論離散隨機(jī)信號的頻譜分析問題。離散隨機(jī)過程是它的無限多個取樣序列的集合。實際中要處理的離散時間信號，僅僅是無限多個取樣序列中的一個。即使對于遍歷性的平穩(wěn)隨機(jī)過程，也只能根據(jù)它的一個取樣序列，來計算出它的均值、方差、均方值、自相關(guān)序列以及協(xié)方差序列等特征量，這些特征量都是對隨機(jī)過程的時域特征的描述。隨機(jī)信號不僅不可能用確定信號的表示方法來描述，而且

7、它們通常都是無限時寬和無限能量的信號，因而它們的傅里葉變換和Z變換都是不存在的。即使計算它的Z變換，得到的Z變換往往都沒有收斂域。即使有收斂域，這個Z變換對應(yīng)的頻譜與其它的取樣序列的頻譜通常也是不同的。但是，隨機(jī)過程的自協(xié)方差序列或自相關(guān)序列卻能較全面描述隨機(jī)過程的特征，包括時域特征和頻域特征。因為不管用哪個取樣序列來計算自協(xié)方差序列或自相關(guān)序列，得到的結(jié)果總是相同的。換句話說，即使是由一個取樣序列計算出來的自相關(guān)序列或自協(xié)方差序列，也能作為對隨機(jī)過程的本質(zhì)描述。此外，前節(jié)曾經(jīng)指出，自協(xié)方差序列和在均值等于零情況下的自相關(guān)序列都是有限能量序列，它們的

8、傅里葉變換和Z變換總是存在的。因此，在對離散隨機(jī)過程進(jìn)行頻譜分析時，要用自協(xié)方差序列或自相關(guān)序列取代隨機(jī)過程