含參變量反常積分.ppt

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1、§2含參量反常積分本節(jié)研究形如的含參變量廣義積分的連續(xù)性、可微性與可積性。下面只對無窮限積分討論，無界函數的情況可類似處理。設是定義在無界區(qū)域上,若對每一個固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數,表為稱為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡稱為含參量反常積分.對于含參量反常積分和函數則稱含參量反常積分在上一致收斂于.一致收斂的柯西準則:含參量反常積分在上一致收斂的充要一致收斂的充要條件;含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是:對任一趨于的遞增數列(其中),函數項級數在一致收斂.魏爾斯特拉斯M判別法:設有函數,使得魏爾斯特拉斯（Weierstr

2、ass）判別法若一致收斂。證明因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且收斂，則關于從而所以關于一致收斂。魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因為收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有且收斂，則關于從而所以關于一致收斂。例1在內一致收斂解因為而積分收斂，所以在內一致收斂狄利克雷判別法;阿貝耳判別法:二、一致收斂積分的性質1.連續(xù)性定理因為在內一致收斂，所以證明因此，當時，設在上連續(xù)，關于在上一致收斂，則一元函數在上連續(xù)。又在上連續(xù)，所以作為的函數在連續(xù)，于是從而，當時，有定理證畢。2.積分順序交換定理設在上連續(xù)，關于在上一致

3、收斂，則在可積，并且3.積分號下求導的定理設在上連續(xù)，收斂，關于在上一致收斂，則在可導，且證明因為在連續(xù)，由連續(xù)性定理在連續(xù)，沿區(qū)間積分，由積分順序交換定理，得到在上式兩端對求導，得定理證畢。連續(xù)性即:可微性可微性定理表明在定理條件下,求導運算和積分運算可以交換.即可積性含參量反常積分在上一致收斂.證明反常積分在上一致收斂.證明含參量反常積分在上一致收斂.在上一致收斂.證明含參量反常積分在上一致收斂.含參量反常積分在上一致收斂.例4證明證（1）用分段處理的方法.因為例4計算積分解例5利用積分號下求導求積分解因為因為故由數學歸納法易證于是例6計算積分解令在第二

4、項積分中令得故(2),含參量反常積分一致收斂的定義;(1),含參量反常積分的定義;(3),含參量反常積分一致收斂的判別;一致收斂的柯西準則:一致收斂的充要條件;魏爾斯特拉斯M判別法;阿貝耳判別法;狄利克雷判別法;(4),含參量反常積分的性質;(i),連續(xù)性;(ii),可微性;(iii),可積性;