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1、圓錐曲線中離心率的探究發(fā)表在《數(shù)學(xué)教育研究》2012第3期江蘇省揚(yáng)中市新壩中學(xué)陸小強(qiáng)[導(dǎo)讀]圓錐曲線的離心率的求法及其范圍，是近幾年高考的熱點(diǎn)問題．離心率是圓錐曲線的一個(gè)特別重要性質(zhì)，求圓錐曲線離心率的值或取值范圍，是解析幾何中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考中考查的高頻考點(diǎn)．圓錐曲線的諸多性質(zhì)及其變化都與離心率息息相關(guān)，離心率的變化直接導(dǎo)致圓錐曲線類型和形狀的變化，它也是圓錐曲線統(tǒng)一定義中的三要素之一．這一類試題立意新穎，構(gòu)思巧妙，既具有數(shù)的本色，又具有形的特性，對于解決這一類問題，我們只要抓住圓錐曲線的定義、性
2、質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形特征，進(jìn)行分析、討論，就可以很快得以解決，具有較高或獨(dú)特的解題技巧．下面主要討論關(guān)于圓錐曲線離心率的幾種求解策略．一.直接求出a、c，求解e已知標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時(shí)，可利用離心率公式來求解。例1.等腰中，斜邊,一個(gè)橢圓以為其中一個(gè)焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)在線段上，且橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，則該橢圓的離心率是.解：設(shè)，則，，，+（,所以二.變用公式，整體求出e例2.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為.分析：本題已知，不必直接求出a、c，可用整體代入套用公式。解：由（其中k為漸近線的斜率）。
3、這里，則。三.定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。例3.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率為。解：設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為,過分別作于,于,,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角為,由雙曲線的第二定義有。又四.構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造出a、c的齊次式，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程，通過解方程得出離心率e的值。例4.（2009江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)
4、系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.解：直線的方程為：；直線的方程為：。二者聯(lián)立解得：，則在橢圓上，，解得：五.構(gòu)造不等式求離心率的取值范圍例5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為．解法1：因?yàn)樵谥?，由正弦定理得則由已知，得，即設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率解法2：由解析1知由橢圓的定義知，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解法1
