離心率材料（2）探究圓錐曲線中離心率的問題

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1、探究圓錐曲線中離心率的問題離心率是圓錐曲線屮的一個重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)，下面給同學(xué)們介紹常用的四種解法。一、直接求出a、b、c之二，求解e已知標準方程或a、c易求時，可利用離心率公式e=-來求解。a已知a>b易求時，可利用e=—求橢圓離心率；用J1+T（其中k為漸近線的斜率）求雙曲線離心率。近線分別相交于點B、C,例1?過雙曲線C：x2-^T=l（b>0）的左頂點A作斜率為1的直線/,若/與雙曲線M的兩條漸b_JzLlABI=IBCI,則雙Illi線M的離心率是（）B.分析：這里的3=1,C=Vb2+l,故關(guān)鍵是求II!b2,即可利用定義求解。解：易知A（?l,0）,

2、則直線/的方程為y=x+lo直線與兩條漸近線y=-bx和y=bx的交點分別為B（-一，丄）、C（丄，上），又IABITBCI,可解得b?=9,貝丘=価故有e=￡=廊，b+lb+lb-lb-la從而選Ao2.已知雙］

3、

4、

5、線茸一4=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=，則雙

6、11

7、線的離心率為a2b23D1分析：本題已硝嶺不能直接求出a、c可用整體代入套用公式。解：由《=￡如+夕aJ1+，（其中k為漸近線的斜率）。這里r則吩彳+（$弓從而選a。二、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱笫二定義）知離心率e是動點到焦點的距離與相應(yīng)準線的距離比,特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問

8、題。例3?在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為血，焦點到相應(yīng)準線的距離為1,則該橢圓的離心率為（）A.V2解：山過焦點H垂直于長軸的弦乂稱為通徑，設(shè)焦點為F,則MF丄x軸，知IMFI是通徑的一半,則^

9、MFI=—o由圓錐Illi線統(tǒng)一定義，得離心率e=^=—,從而選B。2d2三、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、cZ間的關(guān)系，構(gòu)造出a、c的齊次式，進而得到關(guān)于e的方程，通過解方程得出離心率e的值，這也是常用的一種方法。例4.己知耳、F?是雙曲線?-￡=l(a>0,b>0)的兩焦點，以線段FR為邊作正4MF,F2,若?a~b~「邊MF

10、的中點在雙曲線上，則雙曲

11、線的離心率是()A.4+2巧B.V3-1C.-D.V3+12解：如圖，設(shè)IOF,l=c,MFj的中點為P,則點P的橫坐標為C1一—，ililPFjh-IF.^^c,山焦半徑公式IPF,l=-exp-a,g

12、Jc=--x(--)-a,^-c2-2a2-2ac=0,e2-2e-2=0,a2解得c=1+V3,e=1-V3(舍去),故選Do【練一練】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F】、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若4F]PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是(D)A.返2B.近_C.2V2D.V212解：由"廠=—=2cn一L=2aca化為齊次式孑+2e-1=0=>e=a/2-

13、1【高考試題分析】1.(2009全國卷I)設(shè)雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x24-1相切，則該雙曲線的離心率等于(C)(C)V5(D)V6(A)V3(B)2解：漸進線的斜率與拋物線切線的斜率相等。設(shè)切點戶(忑,兒)，則切線的斜率為yU(=2x0.由題意有-^=2x0又兒=兀。2+1%，解得：V=l,/.-=2^=Jl+(-)2=V5.avci由題雙曲線計一右=l(d>o,b>0)的一條漸近線方程為y=牛,代入拋物線方程整理得ax2-bx^a=0,因漸近線與拋物線相切，所以b2-4a2=0f即c2=5a2e=^5f222.（2009浙江理）過雙Illi線二-■=l

14、（a>0,b>0）的右頂點A作斜率為一1的直線，該直線與雙xlr—1—曲線的兩條漸近線的交點分別為5C.若仙飛眈，則雙曲線的離心率是（A.a/2B.V3c.V5D.Vio答案：c【解析】對于A（d,O）,則直線方程為x^y-a=O,直線與兩漸近線的交點為B,C,ab、a+b丿，C&ab),而a-ba-ba-bab、a+b丿因jit2AB=BC,:.4(72=b2e=a/5.223.（2009浙江文）已知橢圓二+與=l（d>b>0）的左焦點為F,右頂點為A,cTb點B在橢圓上,且BF丄兀軸,直線AB交y軸于點P.若AP=2PB,則橢闘的離心率是（1C.—3D.【解析】對于橢圓,因為

15、AP=2PB,則0A=20F、；?a=2c1e=—24.（2009山東卷理）設(shè)雙曲線二a~9的-條漸近線與拋物線y=x2+l只有一個公共點，則雙曲線的離心率為（）.5A.-4B.5C.D.V5【解析】：雙Illi線二a2b1的一條漸近線為y=-xf由方程組