例談數(shù)學(xué)試題中隱含條件的挖掘.doc

《例談數(shù)學(xué)試題中隱含條件的挖掘.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、例談數(shù)學(xué)試題中隱含條件的挖掘張國(guó)欣　　寧夏中寧第四中學(xué)　755100知識(shí)的學(xué)習(xí)需要鞏固，而鞏固則需要通過(guò)練習(xí)來(lái)提高，如何學(xué)會(huì)從試題中挖掘隱含條件將會(huì)大大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．?dāng)?shù)學(xué)試題是根據(jù)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系以及幾何圖形的特點(diǎn)進(jìn)行擬定的．命題者為了更好地考察學(xué)生的敏捷而又嚴(yán)密的思維能力，常常將一些條件隱含在問(wèn)題之中．如果不找出和利用這些隱含條件，就會(huì)導(dǎo)致解題中的疏漏或錯(cuò)誤或解的過(guò)程復(fù)雜冗長(zhǎng)，甚至無(wú)法求解．那么數(shù)學(xué)試題中的隱含條件究竟藏于何處？如何有效挖掘？下面就此問(wèn)題作如下探討．一．從關(guān)鍵用語(yǔ)中挖掘隱含條件認(rèn)真審題，領(lǐng)會(huì)關(guān)鍵詞語(yǔ)，挖掘隱含條件，常常是解題成功的關(guān)鍵所在．若審題不周,急于求成，將會(huì)

2、使答題者走如誤區(qū)．?dāng)?shù)學(xué)題是用一定的文字、圖形等形式給予描述的，根據(jù)表達(dá)題意的需要，常用一些關(guān)鍵用語(yǔ)，如“最多”、“至少”、“方程有實(shí)數(shù)根”等．審題時(shí)要以閱讀題目為基礎(chǔ)，邊讀邊想，扣住關(guān)鍵用語(yǔ)，挖掘隱含條件．例1．設(shè)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值為（　　　）A．　　　　　　B．18　　　　　　C．8　　　　　　D．　　錯(cuò)解　由根與系數(shù)的關(guān)系有，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，故選A．錯(cuò)因分析　以上解法忽略了題目中“兩個(gè)實(shí)根”這一隱含條件，實(shí)際上由已知條件先考慮方程有兩個(gè)實(shí)根的條件，即，得或，在這一前提下再由上述過(guò)程可得當(dāng)時(shí)，取最小值為８，因而選擇C．二．從明顯條件的背后挖掘隱含條件數(shù)學(xué)題目的設(shè)計(jì)，有

3、些條件是非常明顯的，而又一些條件是非常隱蔽的，答題者要找出隱含在明顯條件背后的條件，并正確轉(zhuǎn)化為明顯條件，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解．例2．已知，若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．錯(cuò)解　設(shè)、的夾角為，則，由已知條件有，所以，即，解得，為所求實(shí)數(shù)的取值范圍．錯(cuò)因分析　上述解法注意到了已知中的“鈍角”這一條件，但在4解的過(guò)程中又忽略了一個(gè)隱蔽條件，即當(dāng)時(shí)，未必有為鈍角，還有可能是平角，故兩向量與的夾角為鈍角不僅有，而且還有與不共線(xiàn)，即是兩向量與的夾角為鈍角的充要條件，結(jié)合上述解答過(guò)程得所求實(shí)數(shù)的取值范圍為，若挖掘不出“與不共線(xiàn)”這個(gè)隱含條件，定會(huì)墜入命題者布下的“陷井”．三．從待求結(jié)論中挖掘隱含條件不少

4、數(shù)學(xué)試題，其待求結(jié)論匿有隱含條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)其周密思考，使模糊的目標(biāo)清晰化；抽象的目標(biāo)具體化，從而建立起與已知條件之間的橋梁．例3．已知，求證：．分析１　直接作差進(jìn)行因式分解因?yàn)?，所以，從而有，即．分析２　上述證法很樸實(shí)自然，但關(guān)鍵之處在于將中間的“拆”成需要敏銳的洞察力，如果看不到這一點(diǎn)進(jìn)行因式分解是很難湊效的．其實(shí)，如果注意到所證不等式字母及字母次數(shù)的特點(diǎn)，很容易讓人想到利用構(gòu)造函數(shù)的方法，如將看作未知數(shù)，用替換，即證當(dāng)時(shí)，，整理得：，易知，又，所以，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，它與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，有，從而原不等式得證．評(píng)注　方法２通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式，這是解不等

5、式問(wèn)題的一種常用方法，體現(xiàn)了函數(shù)與不等式的內(nèi)在聯(lián)系．其構(gòu)造的根本出發(fā)點(diǎn)是挖掘出所證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，即均是輪換對(duì)稱(chēng)的，且是二次的特點(diǎn)這一隱含條件，從而構(gòu)造二次函數(shù)使問(wèn)題簡(jiǎn)潔解決．四．從題給數(shù)據(jù)中挖掘隱含條件常有這樣一些情況，題目所給數(shù)據(jù)包含隱含條件，不識(shí)“廬山真面目”，只緣“困”4在數(shù)據(jù)中，如果能敏銳地發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的隱含條件，就能快而準(zhǔn)確地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解．例4．已知，那么＝（　?。〢．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．分析１　因?yàn)椋裕ǚ駝t，若，則有）．又，所以，所以，所以，選A．　　分析２　上述解法其實(shí)也很簡(jiǎn)單，但如果注意到條件中的13這個(gè)數(shù)字，再想到其它兩個(gè)數(shù)字5和12(是一組勾

6、股數(shù))，會(huì)取特殊情形：，且滿(mǎn)足已知條件，故有，選A就更加簡(jiǎn)單了．五．從圖象或圖形中挖掘隱含條件AFDECB解題時(shí)如果根據(jù)一些函數(shù)的圖象或幾何圖形的特征，對(duì)坐標(biāo)、起點(diǎn)、終點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、比例等逐一考察，對(duì)幾何圖形分割或補(bǔ)形，深挖隱含條件是析圖解題的真諦．例5．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）A．B．5C．6D．分析　本題的圖形是非常規(guī)的多面體，需要對(duì)其進(jìn)行必要的“整容”，即分割．連EB、EC，得四棱錐E―ABCD和三棱錐E―BCF，這當(dāng)中，四棱錐E―ABCD的體積易求得，又因?yàn)橐粋€(gè)幾何體的體積應(yīng)大于它的部分體

7、積，所以不必計(jì)算三棱錐E―BCF的體積，結(jié)合選項(xiàng)中的數(shù)字特征就可排除A，B，C，故應(yīng)選D．評(píng)注　本題若按常規(guī)方法求解計(jì)算，是相當(dāng)麻煩的，只有抓住其中的一些隱含條件會(huì)使問(wèn)題迅速得解，如這里先對(duì)不規(guī)則的圖形分割，而后根據(jù)數(shù)字特征這些隱含條件巧得正確結(jié)果．六．從已知關(guān)系式中挖掘隱含條件例6．已知，且，求實(shí)數(shù)的值．分析１　由題意知，則有，，，將這三式代入已知等式得，化簡(jiǎn)得4，即有，代入檢驗(yàn)等式成立．分析２　上述解法顯