§442空間圖形的公理.doc

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1、§44.2空間圖形的公理一.教學(xué)內(nèi)容：空間圖形的基本關(guān)系與公理?二.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、學(xué)會(huì)觀察長(zhǎng)方體模型中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，并能結(jié)合長(zhǎng)方體模型，掌握空間圖形的有關(guān)概念和有關(guān)定理；掌握平面的基本性質(zhì)、公理4和等角定理；2、培養(yǎng)和發(fā)展自己的空間想象能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力、通過(guò)典型例子的學(xué)習(xí)和自主探索活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法；3、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣與嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度；體會(huì)推理論證中反映出的辯證思維的價(jià)值觀。?三、知識(shí)要點(diǎn)（一）空間位置關(guān)系：I、空間點(diǎn)與線的關(guān)系空間點(diǎn)與

2、直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)P在直線上：；點(diǎn)P在直線外：；?II、空間點(diǎn)與平面的關(guān)系空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)P在平面上：點(diǎn)P在平面外：；?III、空間直線與直線的位置關(guān)系：?IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：?V、空間平面與平面的位置關(guān)系：平行；相交7說(shuō)明：本模塊中所說(shuō)的“兩個(gè)平面”“兩條直線”等均指不重合的情形。?（二）異面直線的判定1、定義法：采取反證法的思路，否定平行與相交兩種情形即可；2、判定定理：已知P點(diǎn)在平面上，則平面上不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線與平面外經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。?（三）平面的基本性質(zhì)公理1、

3、公理1?如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)，或曰平面經(jīng)過(guò)這條直線）。2、公理2?經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（即確定一個(gè)平面）。3、公理3?如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)該點(diǎn)的公共直線。4、平面的基本性質(zhì)公理的三個(gè)推論經(jīng)過(guò)直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面思考：公理是公認(rèn)為正確而不需要證明的命題，那么推論呢？平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫平面的性質(zhì)的

4、？?（四）平行公理（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線平行。?（五）等角定理：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。?（六）空間四邊形：順次連接不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。?【典型例題】考點(diǎn)一?空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。7例1.下列命題：空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；⑤兩組對(duì)邊分別相等

5、的四邊形是平行四邊形；⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。其中正確的命題是?????????????????????????????????????????。解：⑥。?例2.空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說(shuō)明。解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：?考點(diǎn)二?異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。例3.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對(duì)，分別是___

6、_________________？解：3對(duì)，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。?考點(diǎn)三?“有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。7例4.求證：過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。已知：直線a∥b。求證：過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面。證明：存在性：由平行線的定義可知，過(guò)平行直線a，b有一個(gè)平面。唯一性（反證法）：假設(shè)過(guò)a，b有兩個(gè)平面。在直線上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取一點(diǎn)C，則A、B、C三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面都過(guò)直線a，b，因此由公理

7、1可知：都過(guò)點(diǎn)A、B、C。由平面的基本性質(zhì)公理2，過(guò)不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過(guò)平行直線a，b只有一個(gè)平面。綜上所述：過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面。考點(diǎn)四?共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。例5.三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。已知：平面，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。證明：因?yàn)?，故a，b共面。I、若a∥b：由于，故，因直線，故a，c無(wú)公共點(diǎn)。又a，c都在平面內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。II、若，則，故知綜上所述：命題成立。說(shuō)

8、明：證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。?考點(diǎn)五?共線的判斷與證明：常見題型是三點(diǎn)共線。例6.如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對(duì)角線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：O1、M、A三點(diǎn)共線。